БИНОМИАЛНА ТЕОРЕМА: ДОКАЗАТЕЛСТВО И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА

В Тригонометрия е уравнение, което ни казва как да се развива израз на формата (а + б) ^п за някои естествено число п. Биномиалът не е нищо повече от сумата от два елемента, като (a + b). Също така ни позволява да знаем за термин, даден от ^k b ^n-k, какъв е съпътстващият коефициент.

Тази теорема обикновено се приписва на английския изобретател, физик и математик сър Исак Нютон; Въпреки това са открити различни записи, които показват, че съществуването му вече е било известно в Близкия изток, около 1000 година.

Комбинаторни номера

Биномиалната теорема математически ни казва следното:

В този израз a и b са реални числа и n е естествено число.

Преди да дадем демонстрацията, нека разгледаме някои основни понятия, които са необходими.

Комбинаторното число или комбинациите от n в k се изразяват, както следва:

Тази форма изразява стойността на това, колко подмножества с k елементи могат да бъдат избрани от набор от n елемента. Алгебричният му израз се дава от:

Нека видим пример: да предположим, че имаме група от седем топки, от които две са червени, а останалите са сини.

Искаме да знаем по колко начина да ги подредим подред. Един от начините може да бъде поставянето на двата червени на първа и втора позиция, а останалите топчета на останалите позиции.

Подобно на предишния случай, бихме могли да дадем на червените топки съответно първата и последната позиция и да заемем останалите със сини топки.

Сега ефикасен начин да преброите колко начини можем да подредим топките в един ред, като използваме комбинаторни числа. Можем да видим всяка позиция като елемент от следния набор:

Тогава остава само да се избере подмножество от два елемента, в които всеки от тези елементи представлява позицията, която червените топки ще заемат. Можем да направим този избор според връзката, дадена от:

По този начин имаме, че има 21 начина да поръчате тези топки.

Общата идея на този пример ще бъде много полезна при доказване на биномиалната теорема. Нека разгледаме конкретен случай: ако n = 4, имаме (a + b) ⁴, което не е нищо повече от:

Когато разработваме този продукт, ни остава сумата от получените термини, като умножаваме по един елемент от всеки от четирите фактора (a + b). Така ще имаме термини, които ще бъдат във формата:

Ако искахме да получим термина под формата ⁴, просто трябва да умножим, както следва:

Обърнете внимание, че има само един начин за получаване на този елемент; но какво се случва, ако сега търсим термина на формата a ² b ² ? Тъй като "a" и "b" са реални числа и следователно се прилага законът на комутациите, имаме един от начините да получим този термин е да се умножим с членовете, както е указано със стрелките.

Извършването на всички тези операции обикновено е малко досадно, но ако виждаме термина "а" като комбинация, където искаме да знаем по колко начина можем да изберем две "а" от набор от четири фактора, можем да използваме идеята от предишния пример. И така, имаме следното:

По този начин ние знаем, че в окончателното разширяване на израза (a + b) ⁴ ще имаме точно 6a ² b ². Използвайки същата идея и за останалите елементи, трябва да:

След това добавяме изразите, получени по-рано и имаме това:

Това е официално доказателство за общия случай, когато "n" е всяко естествено число.

демонстрация

Обърнете внимание, че термините, оставени от разширяване (a + b) ^n, имат формата a ^k b ^n-k, където k = 0,1,…, n. Използвайки идеята на предишния пример, имаме начин да изберем «k» променливи «a» от факторите «n» е:

Избирайки по този начин, автоматично избираме nk променливи „b“. От това следва, че:

Примери

Имайки предвид (a + b) ⁵, какво би било развитието му?

По биномиална теорема имаме:

Биномиалната теорема е много полезна, ако имаме израз, в който искаме да знаем какъв е коефициентът на конкретен термин, без да се налага да правим пълното разширение. Като пример можем да вземем следното неизвестно: какъв е коефициентът на x ⁷ и ⁹ при разширяването на (x + y) ¹⁶ ?

По биномиална теорема имаме, че коефициентът е:

Друг пример е: какъв е коефициентът на x ⁵ и ⁸ при разширяването на (3x-7y) ¹³ ?

Първо пренаписваме израза по удобен начин; това е:

След това, използвайки биномиалната теорема, имаме, че търсеният коефициент е, когато имаме k = 5

Друг пример за използването на тази теорема е в доказването на някои общи идентичности, като тези, които ще споменем по-нататък.

Идентичност 1

Ако «n» е естествено число, имаме:

За доказателство използваме биномиалната теорема, където и «a» и «b» приемат стойността 1. Тогава имаме:

По този начин доказахме първата идентичност.

Самоличност 2

Ако "n" е естествено число, тогава

По биномиална теорема имаме:

Поредна демонстрация

Можем да направим различно доказателство за биномиалната теорема, използвайки индуктивния метод и идентичността на Паскал, което ни казва, че ако «n» и «k» са положителни цели числа, които удовлетворяват n ≥ k, тогава:

Индукционни доказателства

Нека първо видим, че индуктивната основа е в сила. Ако n = 1, имаме:

Всъщност виждаме, че е изпълнено. Сега нека n = j е такъв, че:

Искаме да видим, че за n = j + 1 е вярно, че:

Така че трябва:

По хипотеза знаем, че:

След това, използвайки свойството за разпространение:

Впоследствие, развивайки всяко от обобщенията, имаме:

Сега, ако се групираме по удобен начин, имаме това:

Използвайки идентичността на pascal, ние имаме:

И накрая, имайте предвид, че:

Следователно виждаме, че биномиалната теорема важи за всички „n“, принадлежащи на естествените числа, и с това доказателството приключва.

Любопитно

Комбинаторното число (nk) се нарича също биномиален коефициент, защото именно коефициентът се появява при развитието на биномиалния (a + b) ⁿ.

Исак Нютон даде обобщение на тази теорема за случая, в който показателят е реално число; Тази теорема е известна като биномиална теорема на Нютон.

Още в древни времена този резултат е бил известен за конкретния случай, в който n = 2. Този случай е споменат в „Елементи на Евклид“.

Препратки

Джонсън Ричард. Дискретна математика. PhH
Kenneth.H. Росен. Дискретна математика и нейните приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Д-р Seymour Lipschutz & Marc Lipson. Дискретна математика. McGraw-Hill.
Ралф П. Грималди. Дискретна и комбинативна математика. Адисон-Уесли Ибероамерикана
Зелена звезда Луис., Дискретна и комбинирана антропология по математика

БИНОМИАЛНА ТЕОРЕМА: ДОКАЗАТЕЛСТВО И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2024