- Доказателство за основната теорема на аритметиката
- Уникалност на основната факторизация
- Приложения
- Основни числа в природата
- Основни номера и онлайн пазаруване
- Решени упражнения
- - Упражнение 1
- Решение
- - Упражнение 2
- Решение
- Препратки
В основна теорема на аритметиката се посочва, че всяко физическо номер по-голям от 1 може да се разложи като продукт на простите числа - някои може да се повтори - и тази форма е уникален за този брой, въпреки че по реда на факторите, може да бъде различен.
Не забравяйте, че просто число p е това, което само признава себе си и 1. като положителни делители. Следните числа са прайми: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и така нататък, тъй като има безкрайности. Числото 1 не се счита за премиер, тъй като има само един делител.
Фигура 1. Евклид (вляво) доказа основната теорема за аритметика в книгата си „Елементи“ (350 г. пр. Н. Е.), А първото пълно доказателство се дължи на Карл Ф. Гаус (1777-1855 г.) (вдясно). Източник: Wikimedia Commons.
От своя страна числа, които не съответстват на горното, се наричат съставни числа, като 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Нека вземем например числото 10 и веднага виждаме, че то може да бъде разложено като продукт на 2 и 5:
10 = 2 × 5
И двете, и 5 са, всъщност, най-прости числа. Теоремата гласи, че това е възможно за всяко число n:
Където p 1, p 2, p 3 … p r са прости числа и k 1, k 2, k 3,… k r са естествени числа. Така че прости числа действат като градивните елементи, от които чрез умножение се изграждат естествените числа.
Доказателство за основната теорема на аритметиката
Започваме с показването, че всяко число може да бъде разложено на основни фактори. Позволява да бъде естествено число n> 1, просто или съставно.
Например, ако n = 2, тя може да бъде изразена като: 2 = 1 × 2, което е просто. По същия начин продължете със следните числа:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Продължаваме така, разлагайки всички естествени числа, докато достигнем числото n -1. Нека видим дали можем да го направим със следния номер: n.
Ако n е просто, можем да го разложим като n = 1 × n, но да предположим, че n е композитен и има делител d, логично по-малък от n:
1 <d <n.
Ако n / d = p 1, с p 1 просто число, тогава n се записва като:
n = p 1.d
Ако d е прост, няма какво повече да се прави, но ако не е, има число n 2, което е делител на d и по-малко от това: n 2 <d, така че d може да бъде записано като произведение на n 2 от друг първо число p 2:
d = p 2 n 2
Това при заместване в първоначалното число n ще даде:
n = p 1.p 2.n 2
Нека сега предположим, че n 2 не е просто число и го записваме като произведение на просто число p 3, чрез неговия делител n 3, така че n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3.n 3
Повтаряме тази процедура ограничен брой пъти, докато не получим:
n = p 1.p 2.p 3 … p r
Това означава, че е възможно да се разложат всички цели числа от 2 до числото n, като произведение на прости числа.
Уникалност на основната факторизация
Сега нека проверим, че с изключение на реда на факторите, това разлагане е уникално. Да предположим, че n може да бъде написано по два начина:
n = p 1.p 2.p 3 … p r = q 1. q 2.q 3 …..q s (с r ≤ s)
Разбира се, q 1, q 2, q 3… също са прости числа. Тъй като p 1 се разделя (q 1. q 2.q 3 …..q s), тогава p 1 е равно на който и да е от „q“, няма значение кой от тях, така че можем да кажем, че p 1 = q 1. Разделяме n на p 1 и получаваме:
p 2.p 3 … p r = . q 2.q 3 …..q s
Повтаряме процедурата, докато не разделим всичко на p r, след което получаваме:
1 = q r + 1 … q s
Но не е възможно да се стигне до q r + 1… q s = 1, когато r <s, само ако r = s. Въпреки че, признавайки, че r = s, се признава също, че "p" и "q" са едно и също. Следователно разлагането е уникално.
Приложения
Както казахме преди, основните числа представляват, ако искате, атомите на числата, техните основни компоненти. Така че основната теорема за аритметика има многобройни приложения, най-очевидното: можем да работим с големи числа по-лесно, ако ги изразим като произведение на по-малки числа.
По същия начин можем да намерим най-големия общ множествен (LCM) и най-големия общ делител (GCF), процедура, която ни помага да правим по-лесно добавянето на дроби, да намираме корени от големи числа или да работим с радикали, да рационализираме и решаваме проблеми с приложението от много разнообразен характер.
Освен това прости числа са изключително загадъчни. Един модел все още не е разпознат в тях и не е възможно да се знае какво ще бъде следващото. Най-големият досега е открит от компютрите и има 24 862 048 цифри, въпреки че новите първи числа се появяват по-рядко всеки път.
Основни числа в природата
Цикадите, цикадидос или цикада, които живеят в североизточната част на Съединените щати, се появяват на цикли от 13 или 17 години. И двете са прости числа.
По този начин цикадите избягват съвпадение с хищници или конкуренти, които имат други периоди на раждане, нито различните сортове цикади се конкурират помежду си, тъй като те не съвпадат през една и съща година.
Фигура 2. Цикадата Magicicada в източните Съединени щати се появява на всеки 13 до 17 години. Източник: Pxfuel.
Основни номера и онлайн пазаруване
Основните номера се използват в криптографията, за да запазят в тайна данните за кредитната карта, когато правите покупки през интернет. По този начин данните, че купувачът достига до магазина именно без да се губи или да попадне в ръцете на безскрупулни хора.
Как? Данните на картите са кодирани в число N, което може да бъде изразено като произведение на прости числа. Тези прости числа са ключът, който данните разкриват, но те са непознати за обществеността, те могат да бъдат декодирани само в мрежата, към която са насочени.
Декомпозирането на число в фактори е лесна задача, ако числата са малки (вижте решените упражнения), но в този случай като ключ се използват прости числа от 100 цифри, които при умножаването им дават много по-големи числа, чието подробно разлагане включва огромна задача,
Решени упражнения
- Упражнение 1
Разбийте 1029 на основни фактори.
Решение
1029 се дели на 3. Известно е, защото при добавянето на неговите цифри сумата е кратна на 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Тъй като редът на факторите не променя продукта, можем да започнем от него:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
От друга страна 343 = 7 3, тогава:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
И тъй като и 3, и 7 са прости числа, това е разлагането на 1029.
- Упражнение 2
Фактор на триномия x 2 + 42x + 432.
Решение
Триномиалът се пренаписва във формата (x + a). (x + b) и трябва да намерим стойностите на a и b, така че:
a + b = 42; ab = 432
Числото 432 се разлага на първични фактори и оттам подходящата комбинация се избира чрез опит и грешка, така че добавените фактори дават 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
От тук има няколко възможности да напишете 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
И всичко това може да се намери чрез комбиниране на продуктите между основните фактори, но за да се реши предложеното упражнение, единствената подходяща комбинация е: 432 = 24 × 18, тъй като 24 + 18 = 42, след това:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Препратки
- Балдор, А. 1986. Теоретична практическа аритметика. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Скритият кодекс на природата. Възстановено от: bbc.com.
- Де Леон, Мануел. Първи номера: пазителите на интернет. Възстановени от: blogs.20minutos.es.
- Пумас. Теория на числата I: Основна теория на аритметиката. Възстановени от: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Основната теорема на аритметиката. Възстановено от: es.wikipedia.org.