ТЕССЕЛАЦИИ: ХАРАКТЕРИСТИКА, ВИДОВЕ (ПРАВИЛНИ, НЕПРАВИЛНИ), ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На облицовки са покрити повърхности една или повече цифри, наречени тесери. Те са навсякъде: по улици и сгради от всякакъв вид. Тесерите или плочките са плоски парчета, обикновено многоъгълници с конгруентни или изометрични копия, които се поставят по обикновен модел. По този начин няма оставени пространства непокрити и плочките или мозайките не се припокриват.

В случай, че се използва единичен тип мозайка, образувана от редовен многоъгълник, тогава има редовна тесселация, но ако се използват два или повече вида правилни многоъгълници, то това е полуредовна тесселация.

Фигура 1. Плочка на пода с неправилна тесселация, тъй като правоъгълниците са нередовни многоъгълници, въпреки че квадратите са. Източник: Pixabay

И накрая, когато многоъгълниците, които теселарните форми не са правилни, тогава това е неправилна тесселация.

Най-често срещаният тип теселация е този, оформен от правоъгълни и особено квадратни мозайки. На фигура 1 имаме добър пример.

История на tessellations

Теселацията се използва от хиляди години за покриване на подове и стени на дворци и храмове от различни култури и религии.

Например, шумерската цивилизация, която процъфтява около 3500 г. пр.н.е. на юг от Месопотамия, между реките Ефрат и Тигър, използва теселации в своята архитектура.

Фигура 2. Шумерски тесселации на портата Istar. Източник: Wikimedia Commons.

Тесселациите също предизвикаха интереса на математиците от всички епохи: започвайки от Архимед през III в. Пр. Н. Е., Последван от Йоханес Кеплер през 1619 г., Камил Джордан през 1880 г., до съвремието с Роджър Пенроуз.

Пенроуз създаде непериодична тесселация, известна като тензелация на Penrose. Това са само няколко имена на учени, които допринесоха много за теселацията.

Редовни тесселации

Редовните тесселации се правят само с един вид редовен многоъгълник. От друга страна, за да се счита теселацията за редовна, всяка точка на равнината трябва:

-Въпреки вътрешността на полигона

-До края на два съседни полигона

-В крайна сметка тя може да принадлежи на общата върха на поне три полигона.

С горните ограничения може да се покаже, че само равностранни триъгълници, квадратчета и шестоъгълници могат да образуват правилна тесселация.

номенклатура

Съществува номенклатура за обозначаване на tessellations, която се състои в изброяване по посока на часовниковата стрелка и разделена с точка, броя на страните на многоъгълниците, които обграждат всеки възел (или върха) на теселацията, като винаги започва с многоъгълника с най-ниското число страни.

Тази номенклатура се прилага за редовни и полурегулярни тесселации.

Пример 1: Триъгълна тесселация

Фигура 3 показва правилна триъгълна тесселация. Трябва да се отбележи, че всеки възел на триъгълната тесселация е общата върха на шест равностранни триъгълника.

Начинът за означаване на този тип тесселиране е 3.3.3.3.3.3, което също се обозначава с 3 ⁶.

Фигура 3. Редовна триъгълна тесселация 3.3.3.3.3.3. Източник: wikimedia commons

Пример 2: Квадратна тесселация

Фигура 4 показва правилна тесселация, съставена само от квадратчета. Трябва да се отбележи, че всеки възел в тесселацията е заобиколен от четири конгруентни квадрата. Обозначението, което се прилага за този тип квадратна тесселация, е: 4.4.4.4 или алтернативно 4 ⁴

Фигура 4. Квадратна тесселация 4.4.4.4. Източник: wikimedia commons.

Пример 3: Шестоъгълна тесселация

В шестоъгълна тесселация всеки възел е заобиколен от три правилни шестоъгълника, както е показано на фигура 5. Номенклатурата за правилна шестоъгълна тесселация е 6.6.6 или алтернативно 6 ³.

Фигура 5. Шестоъгълна тесселация 6.6.6. Източник: wikimedia commons.

Полурегулярни тесселации

Полуредовните или архимедските тесселации се състоят от два или повече вида правилни многоъгълници. Всеки възел е заобиколен от видовете многоъгълници, които съставят тесселацията, винаги в един и същ ред, а състоянието на ръба е напълно споделено със съседа.

Има осем полуредовни тесселации:

1. 3.6.3.6 (три шестоъгълна тесселация)
2. 3.3.3.3.6 (тъпа шестоъгълна тесселация)
3. 3.3.3.4.4 (удължена триъгълна тесселация)
4. 3.3.4.3.4 (тъпа квадратна тесселация)
5. 3.4.6.4 (ромби-три-шестоъгълна тесселация)
6. 4.8.8 (пресечена квадратна тесселация)
7. 3.12.12 (пресечена шестоъгълна тесселация)
8. 4.6.12 (пресечена трихексагонална тесселация)

Някои примери за полурегулярни теселации са показани по-долу.

Пример 4: Трихексагонална тесселация

Той е този, който е съставен от равностранени триъгълници и правилни шестоъгълници в структурата 3.6.3.6, което означава, че възел на тесселацията е заобиколен (до завършване на един завой) с триъгълник, шестоъгълник, триъгълник и шестоъгълник. Фигура 6 показва такава тесселация.

Фигура 6. Трихексагоналната тесселация (3.6.3.6) е пример за полуредовна тесселация. Източник: Wikimedia Commons.

Пример 5: Тъпа шестоъгълна тесселация

Подобно на тесселацията в предишния пример, този също се състои от триъгълници и шестоъгълници, но тяхното разпределение около възел е 3.3.3.3.6. Фигура 7 ясно илюстрира този тип tessellation.

Фигура 7. Тъпата шестоъгълна тесселация се състои от шестоъгълник, заобиколен от 16 триъгълника в конфигурацията 3.3.3.3.6. Източник: Wikimedia Commons.

Пример 6: ромби-три-шестоъгълна тесселация

Това е тесел, състоящ се от триъгълници, квадратчета и шестоъгълници в конфигурация 3.4.6.4, която е показана на фигура 8.

Фигура 8. Полуредовна тесселация, съставена от триъгълник, квадрат и шестоъгълник в конфигурация 3.4.6.4. Източник: Wikimedia Commons.

Неправилни тесселации

Нерегулярните тесселации са тези, които са образувани от неправилни многоъгълници или от правилни многоъгълници, но не отговарят на критерия, че възелът е върх от поне три полигона.

Пример 7

Фигура 9 показва пример за неправилна тесселация, при която всички многоъгълници са правилни и конгруентни. Тя е неправилна, тъй като възелът не е обща върха от поне три квадрата и има и съседни квадрати, които не споделят напълно ръб.

Фигура 9. Въпреки че всички плочки са конгрунтни квадратчета, това е ясен пример за неправилна тесселация. Източник: Ф. Сапата.

Пример 8

Паралелограмът поставя плоска повърхност, но освен ако не е квадрат, той не може да образува обикновена тесселация.

Фигура 10. Тесселация, образувана от паралелограми, е неправилна, тъй като мозайките й са нерегулярни многоъгълници. Източник: Ф. Сапата.

Пример 9

Нередовни шестоъгълници с централна симетрия теселират равна повърхност, както е показано на следната фигура:

Фигура 11. Шестоъгълници с централна симетрия, дори когато те не са правилни тесселати равнината. Източник: Ф. Сапата.

Пример 10: тесселиране на Кайро

Това е много интересна тесселация, съставена от петоъгълници със страни с еднаква дължина, но с неравномерни ъгли, два от които са прави, а останалите три имат 120 ° всяка.

Името му идва от факта, че тази тесела е открита на тротоара на някои от улиците на Кайро в Египет. Фигура 12 показва тесселацията на Кайро.

Фигура 12. Кайро Теселация. Източник: Wikimedia Commons.

Пример 11: Тесселация на Al-Andalus

Тесселацията по време на някои части на Андалусия и Северна Африка се характеризира с геометрия и епиграфия, в допълнение към декоративни елементи като растителност.

Тесселацията на дворци като тази на Алхамбра се състоеше от плочки, изградени от керамични парчета с много цветове, с множество (ако не и безкрайни) форми, отприщи в геометрични шарки.

Фигура 13. Теселация на двореца Алхамбра. Tartaglia / Публично достояние

Пример 12: tessellation във видеоигри

Известна още като теселация, тя е една от най-популярните новости във видеоигрите. Става въпрос за създаване на текстури, които да симулират тесселацията на различните сценарии, които се появяват в симулатора.

Това е ясно отражение, че тези покрития продължават да се развиват, преминавайки границите на реалността.

Препратки

1. Насладете се на математиката. Tessellations. Възстановена от: užiйаматикас.com
2. Rubiños. Примери за разрешаване на Tessellations. Възстановени от: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Деморектна тесселация". Weisstein, Eric W, изд. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Мозайка. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Редовна тесселация. Възстановено от: es.wikipedia.com