ИЗОМЕТРИЧНИ ТРАНСФОРМАЦИИ: СЪСТАВ, ВИДОВЕ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На изометрични трансформации са промени на позицията или посоката на дадена фигура които не променят формата или размера на този. Тези трансформации се класифицират в три вида: превод, въртене и отражение (изометрия). Като цяло геометричните преобразувания ви позволяват да създадете нова фигура от дадена.

Трансформация в геометрична фигура означава, че по някакъв начин е претърпяла известна промяна; тоест беше променено. Според смисъла на оригинала и сходното в равнината, геометричните трансформации могат да бъдат класифицирани в три типа: изометрични, изоморфни и анаморфни.

характеристики

Изометричните трансформации възникват, когато се запазят величините на сегментите и ъглите между оригиналната фигура и трансформираната фигура.

При този тип трансформация нито формата, нито размерът на фигурата не се променят (те са конгруентни), това е само промяна в позицията му, било в ориентация или посока. По този начин началните и крайните цифри ще бъдат сходни и геометрично съвпадащи.

Изометрията се отнася до равенството; с други думи, геометричните фигури ще бъдат изометрични, ако имат еднаква форма и размер.

При изометричните трансформации единственото, което може да се наблюдава, е промяна на положението в равнината, възниква твърдо движение, благодарение на което фигурата преминава от първоначално положение в крайно. Тази фигура се нарича хомоложна (подобна) на оригинала.

Има три типа движения, които класифицират изометрична трансформация: превод, въртене и отражение или симетрия.

Видове

Чрез превод

Те са онези изометрии, които позволяват всички точки на равнината да се движат по права линия в дадена посока и разстояние.

Когато фигура се трансформира чрез превод, тя не променя ориентацията си спрямо първоначалната позиция, нито губи своите вътрешни мерки, мерките на нейните ъгли и страни. Този тип изместване се определя от три параметъра:

- Една посока, която може да бъде хоризонтална, вертикална или наклонена.

- Една посока, която може да бъде наляво, надясно, нагоре или надолу.

- Разстояние или величина, която е дължината от първоначалната позиция до края на всяка точка, която се движи.

За да бъде изпълнено изометричното преобразуване чрез превод, трябва да бъдат изпълнени следните условия:

- Фигурата трябва винаги да запазва всичките си размери, както линейни, така и ъглови.

- Фигурата не променя позицията си по отношение на хоризонталната ос; тоест ъгълът му никога не варира.

- Преводите винаги ще се обобщават в едно, независимо от броя на извършените преводи.

В равнина, където центърът е точка О, с координати (0,0), преводът се определя от вектор T (a, b), който показва изместване на началната точка. Това означава:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Например, ако към координатната точка P (8, -2) се приложи превод T (-4, 7), получаваме:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

На следващото изображение (вляво) може да се види как точка С се е преместила, за да съвпадне с D. Това го направи във вертикална посока, посоката беше нагоре и CD с разстоянието или величината беше 8 метра. В дясното изображение се наблюдава преводът на триъгълник:

Чрез завъртане

Те са онези изометрии, които позволяват на фигурата да върти всички точки на равнина. Всяка точка се върти след дъга, която има постоянен ъгъл и определена фиксирана точка (център на въртене).

Тоест цялото въртене ще бъде определено от неговия център на въртене и ъгъл на въртене. Когато фигура се трансформира чрез въртене, тя запазва мярката на ъглите и страните си.

Въртенето се извършва в определена посока, то е положително, когато въртенето е обратно на часовниковата стрелка (противоположна на това как се завъртат ръцете на часовника) и отрицателно, когато въртенето му е по посока на часовниковата стрелка.

Ако точка (x, y) се завърти по отношение на произхода - тоест центърът му на въртене е (0,0) -, под ъгъл 90 ^или 360, ^или координатите на точките ще бъдат:

В случаите, когато въртенето няма център в началото, първоизточникът на координатната система трябва да бъде прехвърлен към новия даден начален източник, за да може фигурата да се завърти с произхода като център.

Например, ако P (-5,2) точка е приложено въртене на 90 ^или, около източника и положително новите му координати са (-2.5).

Чрез отражение или симетрия

Те са онези трансформации, които обръщат точките и фигурите на равнината. Тази инверсия може да бъде по отношение на точка или може да бъде по отношение на линия.

С други думи, при този тип трансформация всяка точка на оригиналната фигура е свързана с друга точка (изображение) на хомоложната фигура, по такъв начин, че точката и нейното изображение да са на едно и също разстояние от линия, наречена оста на симетрия., Така лявата част на фигурата ще бъде отражение на дясната част, без да променя формата или размерите си. Симетрията превръща фигура в друга равна, но в обратна посока, както може да се види на следното изображение:

Симетрията присъства в много аспекти, като например при някои растения (слънчогледи), животни (паун) и природни явления (снежинки). Човешкото същество го отразява на лицето си, което се счита за фактор за красота. Отражението или симетрията могат да бъдат от два вида:

Централна симетрия

Именно тази трансформация се случва по отношение на точка, в която фигурата може да промени ориентацията си. Всяка точка от оригиналната фигура и нейното изображение са на едно и също разстояние от точка O, наречена център на симетрия. Симетрията е централна, когато:

- И точката, и нейният образ и център принадлежат на една и съща линия.

- При завъртане на 180 ^o от центъра O се получава цифра, равна на оригинала.

- Линиите на началната фигура са успоредни на линиите на образуваната фигура.

- Чувството на фигурата не се променя, тя винаги ще бъде по посока на часовниковата стрелка.

Състав на ротация

Съставът на два завоя с един и същ център води до друг завой, който има същия център и чиято амплитуда ще бъде сборът от амплитудите на двата завоя.

Ако центърът на завоите има различен център, разрезът на бисектрисата на два сегмента от подобни точки ще бъде центърът на завой.

Състав на симетрия

В този случай съставът ще зависи от начина на приложение:

- Ако една и съща симетрия се приложи два пъти, резултатът ще бъде идентичност.

- Ако се прилагат две симетрии по отношение на две успоредни оси, резултатът ще бъде превод и неговото изместване е два пъти по-голямо от разстоянието на тези оси:

- Ако се прилагат две симетрии по отношение на две оси, които се пресичат в точка O (център), ще се получи въртене с център в O и ъгълът му ще бъде два пъти по-голям от ъгъла, образуван от осите:

Препратки

1. V Bourgeois, JF (1988). Материали за изграждане на геометрия. Мадрид: Синтез.
2. Сезар Калавера, IJ (2013). Технически чертеж II. Paraninfo SA: Издания на кулата.
3. Coxeter, H. (1971). Основи на геометрията. Мексико: Лимуза-Уайли.
4. Coxford, A. (1971). Геометрия A Трансформационен подход. САЩ: Братя Лайдлав.
5. Лиляна Синьориз, РС (2005). Индукция и формализация в преподаването на твърди трансформации в CABRI среда.
6. , PJ (1996). Групата на изометриите на самолета. Мадрид: Синтез.
7. Суарес, AC (2010). Трансформации в равнината. Гурабо, Пуерто Рико: AMCT.