ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ФУРИЕ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В преобразуване на Фурие е метод за аналитично адекватност ориентирана към интегрируеми функции, които принадлежат към семейството на интегрални трансформации. Състои се от предефиниране на функции f (t) по отношение на Cos (t) и Sen (t).

Тригонометричните идентичности на тези функции, заедно с техните производни и антидеривационни характеристики, служат за определяне на преобразуването на Фурие чрез следната сложна функция:

Което е вярно, стига изразът да има смисъл, тоест когато неправилният интеграл е конвергентен. Алгебраично се казва, че трансформацията на Фурие е линеен хомеоморфизъм.

Всяка функция, която може да се работи с преобразуване на Фурие, трябва да има нула извън определен параметър.

Имоти

Източник: пиксели

Трансформацията на Фурие отговаря на следните свойства:

съществуване

За да се провери съществуването на преобразуването на Фурие във функция f (t), дефинирана в реалните R, трябва да бъдат изпълнени следните 2 аксиоми:

1. f (t) е частично непрекъснат за всички R
2. f (t) е интегрируем в R

Линейна трансформация на Фурие

Нека M (t) и N (t) са всякакви две функции с определени преобразувания на Фурие, с всякакви константи a и b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Което се подкрепя и от линейността на едноименния интеграл.

Преобразуване на Фурие на производно

Има функция f, която е непрекъсната и интегрирана във всички реалности, където:

И производната на f (f ') е непрекъсната и частично дефинирана в R

Преобразуването на Фурие на производно се дефинира чрез интегриране по части, чрез следния израз:

F (z) = iz F (z)

В производите от по-висок ред, той ще бъде приложен по хомологичен начин, където за всички n 1 имаме:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Диференциация на преобразуване на Фурие

Има функция f, която е непрекъсната и интегрирана във всички реалности, където:

Преобразуване на Фурие на превод

За всеки θ, който принадлежи на множество S и T, който принадлежи на множеството S ', имаме:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

С τ _a работи като оператор за превод на вектор a.

Превод на преобразуването на Фурие

За всеки θ, който принадлежи на множество S и T, който принадлежи на множеството S ', имаме:

τ _a F = F τ _a F = F

За всички, на които принадлежат към R

Преобразуване на Фурие на мащабна група

За всички θ, които принадлежат на множество S. T, който принадлежи към множеството S '

λ принадлежащи на R - {0} имаме:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Ако f е непрекъсната и ясно интегрируема функция, където a> 0. Тогава:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

За да демонстрираме този резултат, можем да продължим с промяната на променлива.

Когато T → +, тогава s = при → + ∞

Когато T → - тогава s = при → - ∞

симетрия

За да се изучи симетрията на преобразуването на Фурие, идентичността на Парсевал и формулата на Планчерел трябва да бъде проверена.

Имаме θ и δ, които принадлежат на S. От там може да се заключи, че:

Първи

1 / (2π) ^d { F, F } Парсевална идентичност

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Формула на Планчерел

Преобразуване на Фурие на продукт за завъртане

Следвайки сходни цели, както при преобразуването на Лаплас, свиването на функциите се отнася до продукта между техните преобразувания на Фурие.

Ние имаме f и g като 2 ограничени, дефинирани и напълно интегрирани функции:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Непрекъснатост и попадане в безкрайност

За какво е преобразуването на Фурие?

Той служи предимно за значително опростяване на уравненията, като същевременно преобразува производни изрази в силови елементи, обозначавайки диференциални изрази под формата на интегрируеми полиноми.

При оптимизацията, модулирането и моделирането на резултатите той действа като стандартизиран израз, като често е ресурс за инженеринг след няколко поколения.

Серията Фурие

Те са серии, дефинирани по отношение на Cosines и Sines; Те служат за улесняване на работата с общи периодични функции. Когато се прилагат, те са част от техниките за решаване на обикновени и частични диференциални уравнения.

Сериите на Фурие са дори по-общи от сериите на Тейлър, защото развиват периодични прекъснати функции, които нямат представяне на сериите на Тейлър.

Други форми от поредицата Фурие

За да разберем преобразуването на Фурие аналитично, е важно да разгледаме другите начини, по които може да се намери серията на Фурие, докато не можем да определим серията на Фурие в сложната му нотация.

-Fourier серия във функция от период 2L

Много пъти е необходимо да се адаптира структурата на серия на Фурие към периодични функции, чийто период е p = 2L> 0 в интервала.

-Fourier серия с нечетни и четни функции

Разглежда се интервалът, който предлага предимства, когато се възползвате от симетричните характеристики на функциите.

Ако f е четно, серията на Фурие се установява като серия от Cosines.

Ако f е нечетно, серията на Фурие се установява като поредица от синуси.

-Комплексна нотация на серията Фурие

Ако имаме функция f (t), която отговаря на всички изисквания за разработка на серията на Фурие, е възможно да я обозначим в интервала, използвайки сложната си нотация:

Приложения

Източник: пиксели

Изчисляване на фундаменталното решение

Преобразуването на Фурие е мощен инструмент за изследване на частични диференциални уравнения от линеен тип с постоянни коефициенти. Те се прилагат за функции с неограничени домейни еднакво.

Подобно на преобразуването на Лаплас, преобразуването на Фурие преобразува частична производна функция в обикновено диференциално уравнение, много по-лесно да се управлява.

Проблемът с Коши за уравнението на топлината представя поле за често прилагане на преобразуването на Фурие, където се генерира ядрото на топлина или ядрената функция на Дирихлет.

По отношение на изчисляването на фундаменталното решение са представени следните случаи, когато е често да се намери преобразуването на Фурие:

Теория на сигнала

Общата причина за прилагането на преобразуването на Фурие в този клон се дължи до голяма степен на характерното разлагане на сигнал като безкрайно суперпозиция на по-лесно лечими сигнали.

Тя може да бъде звукова вълна или електромагнитна вълна, преобразуването на Фурие го изразява в суперпозиция от прости вълни. Това представителство е доста често в електротехниката.

От друга страна, са примери за прилагане на преобразуването на Фурие в областта на теорията на сигнала:

Примери

Пример 1

Определете преобразуването на Фурие за следния израз:

Можем да го представим и по следния начин:

F (t) = Sen (t)

Правоъгълният импулс е определен:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Преобразуването на Фурие се прилага към следния израз, който наподобява теоремата за модулация.

f (t) = p (t) Sen (t)

Където: F = (1/2) i

И преобразуването на Фурие се определя от:

F = (1/2) i

Пример 2

Определете преобразуването на Фурие за израза:

Тъй като f (h) е равномерна функция, може да се каже, че

Интеграцията по части се прилага чрез избиране на променливите и техните различия, както следва

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = Н (е ^-Н) ² V = (д ^-h) ² /2

Заместването ви има

След оценка по основната теорема за смятане

Прилагайки предишни знания относно диференциалните уравнения от първи ред, изразът се обозначава като

За да получим K, ние оценяваме

И накрая, преобразуването на Фурие на израза се дефинира като

Предложени упражнения

• 

• 

• Получете преобразуването на израза W / (1 + w ²)

Препратки

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Фуриев анализ. Адисън - Уесли Ибероамерикана, Автономен университет в Мадрид, 1995 г.
2. Лъвове, Дж. Л., Математически анализ и числени методи за наука и технологии. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, Gaussian ядки имат само гаусови максимализатори. Измисли. Math. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series и Integrals. Academic Press, Ню Йорк, 1972г.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Изд. Херман, Париж, 1966г.