ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ЛАПЛАС: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ИСТОРИЯ И ЗА КАКВО Е ПРЕДНАЗНАЧЕНА - МАТЕМАТИКА - 2025

През последните години трансформацията на Лаплас има голямо значение в инженерните изследвания, математиката, физиката, наред с други научни области, както и от голям интерес към теорията, предоставя прост начин за решаване на проблеми, които идват от наука и инженерство.

Първоначално трансформацията на Лаплас е представена от Пиер-Симон Лаплас в неговото изследване на теорията на вероятностите и първоначално е третирана като математически обект от чисто теоретичен интерес.

Настоящите приложения възникват, когато различни математици се опитват да дадат формално обосновка на "експлоатационните правила", използвани от Heaviside при изследването на уравненията на електромагнитната теория.

дефиниция

Нека f е функция, дефинирана за t ≥ 0. Преобразуването на Лаплас се дефинира, както следва:

Казва се, че преобразуването на Лаплас съществува, ако предишният интеграл се сближи, в противен случай се казва, че трансформацията на Лаплас не съществува.

По принцип малките букви се използват за означаване на функцията, която се преобразува, а главната буква съответства на нейното преобразуване. По този начин ще имаме:

Примери

Да вземем предвид постоянната функция f (t) = 1. Ние имаме нейното преобразуване:

Всеки път, когато интегралът се сближава, това е, когато s> 0. В противен случай, s <0, интегралът се разминава.

Нека g (t) = t. Неговата трансформация на Лаплас се дава от

Като се интегрираме по части и знаем, че te ^-st има тенденция към 0, когато t е склонен към безкрайност и s> 0, заедно с предишния пример имаме:

Преобразуването може или не може да съществува, например за функцията f (t) = 1 / t интегралът, който определя неговата трансформация на Лаплас, не се сближава и следователно неговото преобразуване не съществува.

Достатъчни условия, за да се гарантира, че преобразуването на Лаплас на функция f е, че f е частично непрекъснато за t ≥ 0 и е в експоненциален ред.

Казва се, че функцията е частично непрекъсната за t ≥ 0, когато за всеки интервал с a> 0 има краен брой точки t _k, където f има прекъсвания и е непрекъснат във всеки подребрие.

От друга страна се казва, че функция е от експоненциален ред c, ако има реални константи M> 0, c и T> 0, така че:

Като примери имаме, че f (t) = t ² е в експоненциален ред, тъй като -t ² - <e ^3t за всички t> 0.

Официално имаме следната теорема

Теорема (достатъчни условия за съществуване)

Ако f е непрекъсната част от функция за t> 0 и от експоненциален ред с, тогава преобразуването на Лаплас съществува при s> c.

Важно е да се отбележи, че това е условие за достатъчност, тоест може да е така, че има функция, която не отговаря на тези условия и дори така, че нейната трансформация на Лаплас съществува.

Пример за това е функцията f (t) = t ^-1/2, която не е ^{частично} непрекъсната за t ≥ 0, но нейната трансформация на Лаплас съществува.

Преобразуване на Лаплас на някои основни функции

Следващата таблица показва преобразуванията на Лаплас на най-често срещаните функции.

история

Трансформацията на Лаплас дължи името си на Пиер-Симон Лаплас, френски математик и теоретичен астроном, който е роден през 1749 г. и умира през 1827 г. Славата му е такава, че е известен като Нютон от Франция.

През 1744 г. Леонард Ойлер посвещава изследванията си на интеграли с формата

като решения на обикновени диференциални уравнения, но той бързо изостави това разследване. По-късно Джоузеф Луи Лагранж, който силно се възхищава на Ойлер, също изследва тези видове интеграли и ги свързва с теорията на вероятностите.

1782, Лаплас

През 1782 г. Лаплас започва да изучава тези интеграли като решения на диференциални уравнения и според историците през 1785 г. той решава да преформулира проблема, което по-късно породи преобразуванията на Лаплас така, както се разбират днес.

След като беше въведен в областта на теорията на вероятностите, по онова време той не беше много интересен за учените и беше разглеждан само като математически обект, който представлява само теоретичен интерес.

Оливър Хевисайд

Това беше в средата на деветнадесети век, когато английският инженер Оливър Хевисайд откри, че диференциалните оператори могат да бъдат третирани като алгебраични променливи, като по този начин дава на Лаплас трансформира своето модерно приложение.

Оливър Хевисайд е английски физик, електроинженер и математик, който е роден в Лондон през 1850 г. и умира през 1925 г. Докато се опитва да реши проблемите на диференциалното уравнение, приложени към теорията на вибрациите и използвайки изследванията на Лаплас, той започва да оформя Модерни приложения на Laplace трансформации.

Резултатите, представени от Heaviside, се разпространиха бързо в научната общност по онова време, но тъй като работата му не беше строга, той беше бързо критикуван от по-традиционните математици.

Въпреки това, полезността на работата на Heaviside при решаването на уравнения във физиката направи неговите методи популярни сред физиците и инженерите.

Въпреки тези неуспехи и след няколко десетилетия неуспешни опити, в началото на 20 век може да се даде строго обосновка на оперативните правила, дадени от Heaviside.

Тези опити дадоха плод благодарение на усилията на различни математици като Бромвич, Карсън, ван дер Пол, между другото.

Имоти

Сред свойствата на трансформацията на Лаплас се открояват следните:

Линейност

Нека c1 и c2 са константи и f (t) и g (t) функции, чиито преобразувания на Лаплас съответно са F (s) и G (s), тогава имаме:

Поради това свойство се казва, че трансформацията на Лаплас е линеен оператор.

пример

Първа теорема за превод

Ако се случи така:

И „a“ е всяко истинско число, така че:

пример

Тъй като преобразуването на Лаплас на cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), тогава:

Втора теорема за превод

да

Така

пример

Ако f (t) = t ^ 3, тогава F (s) = 6 / s ^ 4. И следователно трансформацията на

е G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Промяна на мащаба

да

И „а“ е ненулева реалност, ние трябва

пример

Тъй като трансформацията на f (t) = sin (t) е F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), имаме това

Преобразуване на Лаплас на производни

Ако f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ са непрекъснати за t ≥ 0 и са в експоненциален ред и f ⁽ⁿ⁾ (t) е на части непрекъснат за t ≥ 0, тогава

Лапласова трансформация на интеграли

да

Така

Умножение по t

Ако трябва

Така

Разделяне по t

Ако трябва

Така

Периодични функции

Нека f е периодична функция с период T> 0, тоест f (t + T) = f (t), тогава

Поведение на F (s), тъй като s клони към безкрайност

Ако f е непрекъснат на части и в експоненциален ред и

Така

Обратни трансформации

Когато приложим преобразуването на Лаплас към функция f (t), получаваме F (s), което представлява това преобразуване. По същия начин можем да кажем, че f (t) е обратната трансформация на Лаплас на F (s) и се записва като

Знаем, че преобразуванията на Лаплас на f (t) = 1 и g (t) = t са съответно F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s ², следователно имаме това

Някои общи обратни трансформации на Лаплас са, както следва

Освен това обратната трансформация на Лаплас е линейна, тоест е вярно това

Упражнение

намирам

За да разрешим това упражнение, трябва да съпоставим функцията F (s) с една от предишната таблица. В този случай, ако вземем + 1 = 5 и използваме свойството линейност на обратното преобразуване, умножаваме и делим на 4! Първи

За второто обратно преобразуване прилагаме частични дроби, за да пренапишем функцията F (s) и след това свойството на линейност, получавайки

Както можем да видим от тези примери, обикновено е, че функцията F (s), която се оценява, не съвпада точно с никоя от функциите, дадени в таблицата. За тези случаи, както се вижда, е достатъчно да пренапишете функцията, докато достигне съответната форма.

Приложения на трансформацията Лаплас

Диференциални уравнения

Основното приложение на преобразуванията на Лаплас е за решаване на диференциални уравнения.

Използвайки свойството на преобразуването на производна е ясно, че

Y на n-1 производни, оценени при t = 0.

Това свойство прави трансформацията много полезна за решаване на задачи с начална стойност, когато участват диференциални уравнения с постоянни коефициенти.

Следващите примери показват как да използвате преобразуването на Лаплас за решаване на диференциални уравнения.

Пример 1

Предвид следния проблем с първоначалната стойност

Използвайте трансформацията на Лаплас, за да намерите решението.

Прилагаме преобразуването на Лаплас към всеки член на диференциалното уравнение

По свойството на преобразуването на производно, което имаме

Развивайки целия израз и изчиствайки Y (ите), които имаме

Използвайки частични дроби, за да пренапишем дясната страна на полученото уравнение

И накрая, нашата цел е да намерим функция y (t), която удовлетворява диференциалното уравнение. Използването на обратната трансформация на Лаплас ни дава резултат

Пример 2

решавам

Както в предишния случай, ние прилагаме преобразуването от двете страни на уравнението и отделен термин по термин.

По този начин имаме резултат

Заместване с дадените начални стойности и решаване за Y (s)

С помощта на прости дроби можем да пренапишем уравнението по следния начин

А прилагането на обратната трансформация на Лаплас ни дава резултат

В тези примери може да се заключи погрешно, че този метод не е много по-добър от традиционните методи за решаване на диференциални уравнения.

Предимствата на трансформацията на Лаплас са, че не е необходимо да използвате промяна на параметрите или да се притеснявате за различните случаи на метода на неопределените коефициенти.

Освен това, когато решаваме задачи за първоначална стойност по този метод, от самото начало използваме първоначалните условия, така че не е необходимо да се извършват други изчисления, за да се намери конкретното решение.

Системи на диференциални уравнения

Преобразуването на Лаплас също може да се използва за намиране на решения на едновременни обикновени диференциални уравнения, както показва следващият пример.

пример

Разрешаване

При първоначалните условия x (0) = 8 и y (0) = 3.

Ако трябва

Така

Решаването ни дава като резултат

И прилагайки обратната трансформация на Лаплас, която имаме

Механика и електрически вериги

Трансформацията на Лаплас е от голямо значение за физиката, има предимно приложения за механика и електрически вериги.

Проста електрическа верига е съставена от следните елементи

Превключвател, батерия или източник, индуктор, резистор и кондензатор. Когато ключът е затворен, се произвежда електрически ток, който се обозначава с i (t). Зарядът на кондензатора се обозначава с q (t).

Съгласно втория закон на Кирхоф, напрежението, произведено от източник Е в затворената верига, трябва да бъде равно на сумата от всеки спад на напрежението.

Електрическият ток i (t) е свързан със заряда q (t) на кондензатора чрез i = dq / dt. От друга страна, спадът на напрежението във всеки от елементите се определя както следва:

Спадът на напрежението през резистор е iR = R (dq / dt)

Спадът на напрежението през индуктор е L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

Спадът на напрежението в кондензатора е q / C

С тези данни и прилагайки втория закон на Кирхоф към простата затворена верига, се получава диференциално уравнение от втори ред, което описва системата и ни позволява да определим стойността на q (t).

пример

Индуктор, кондензатор и резистор са свързани към батерия Е, както е показано на фигурата. Индукторът е 2 хени, кондензаторът е 0,02 фара, а съпротивлението е 16 ома. В момент t = 0 веригата е затворена. Намерете заряда и тока по всяко време t> 0, ако E = 300 волта.

Имаме, че диференциалното уравнение, което описва тази схема, е следното

Където началните условия са q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Прилагайки трансформацията на Лаплас, получаваме това

И решаване за Q (t)

След това, прилагайки обратната трансформация на Лаплас, която имаме

Препратки

1. G. Holbrook, J. (1987). Лаплас трансформация за инженери по електроника. Limusa.
2. Ruiz, LM, и Hernandez, MP (2006). Диференциални уравнения и преобразуване на Лаплас с приложения. Редакторска UPV.
3. Simmons, GF (1993). Диференциални уравнения с приложения и исторически бележки. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Лаплас трансформира. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Диференциални уравнения с гранични стойности. Cengage Learning Editores, SA