ДИСКРЕТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ: СВОЙСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В дискретни трансформация на Фурие е цифров метод се използва за определяне на проби, отнасящи се до спектрални честоти, които съставляват сигнал. Той изучава периодичните функции в затворени параметри, като в резултат на това издава друг дискретен сигнал.

За да се получи дискретното преобразуване на Фурие на N точки, върху дискретен сигнал, трябва да бъдат изпълнени следните две условия на последователност x

TDF

Дискретното преобразуване на Фурие може да се дефинира като N-точково вземане на проби от преобразуването на Фурие.

Интерпретация на дискретната трансформация на Фурие

Източник: Pexels

Има 2 гледни точки, от които резултатите, получени в последователност x _s, могат да бъдат интерпретирани чрез дискретна трансформация на Фурие.

-Първият съответства на спектралните коефициенти, вече известни от серията на Фурие. Наблюдава се при дискретни периодични сигнали, като пробите съвпадат с последователността x _s.

-Вторият се занимава с спектъра на дискретен апериодичен сигнал, с проби, съответстващи на последователността x _s.

Дискретното преобразуване е приближение към спектъра на оригиналния аналогов сигнал. Фазата му зависи от моментите на вземане на проби, докато нейната величина зависи от интервала на вземане на проби.

Имоти

Алгебраичните основи на структурата съставляват обосновката за следващите раздели.

Линейност

° С. S _n → C. F; Ако една последователност се умножи по скалар, то ще бъде и нейното преобразуване.

T _n + V _n = F + F; Преобразуването на сума е равно на сумата от преобразуванията.

Двойствеността

F → (1 / N) S _-k; Ако дискретното преобразуване на Фурие се преизчисли до вече трансформиран израз, се получава същия израз, мащабиран в N и обърнат по отношение на вертикалната ос.

навиване

Следвайки сходни цели, както при преобразуването на Лаплас, свиването на функциите се отнася до продукта между техните преобразувания на Фурие. Конволюцията се прилага и за дискретни времена и е отговорна за много съвременни процедури.

X _n * R _n → F.F; Преобразуването на светене е равно на произведението на преобразуванията.

X _n. R _n → F * F; Преобразуването на даден продукт е равно на въртенето на преобразуванията.

изместване

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) км}; Ако една последователност се забави от m проби, нейният ефект върху дискретното преобразуване ще бъде изменение на ъгъла, определен от (2π / N) km.

симетрия

X _t = X * _t = X _t

модулация

W ^-nm _N. x ↔ X _t

продукт

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

симетрия

X ↔ X _t = X * _t

съединен

x * ↔ X * _t

Парсевал уравнение

По отношение на конвенционалната трансформация на Фурие има няколко прилики и разлики. Преобразуването на Фурие преобразува последователност в плътна линия. По този начин се казва, че резултатът от променливата на Фурие е сложна функция на реална променлива.

За разлика от него, дискретното преобразуване на Фурие получава дискретен сигнал и го преобразува в друг дискретен сигнал, тоест последователност.

За какво е дискретна трансформация на Фурие?

Те служат предимно за значително опростяване на уравненията, като същевременно трансформират производни изрази в силови елементи. Обозначаване на диференциални изрази в интегрируеми полиномни форми.

При оптимизацията, модулирането и моделирането на резултатите той действа като стандартизиран израз, като често е ресурс за инженеринг след няколко поколения.

Източник: pixabay

история

Тази математическа концепция е въведена от Джоузеф Б. Фурие през 1811 г., докато разработва трактат за разпространението на топлината. Той беше бързо приет от различни отрасли на науката и инженерството.

Той е утвърден като основен инструмент за работа при изучаването на уравнения с частични производни, като дори го сравнява със съществуващата работна връзка между трансформацията на Лаплас и обикновените диференциални уравнения.

Всяка функция, която може да се работи с преобразуване на Фурие, трябва да има нула извън определен параметър.

Дискретно преобразуване на Фурие и неговата обратна

Дискретното преобразуване се получава чрез израза:

След дадена дискретна последователност X

Обратната част на дискретното преобразуване на Фурие се определя чрез израза:

Обратна ВОМ

След като дискретното преобразуване е постигнато, то позволява да се определи последователността във времевата област X.

крилат

Процесът на параметризация, съответстващ на дискретното преобразуване на Фурие, се намира в прозореца. За да работим с трансформацията, трябва да ограничим последователността във времето. В много случаи въпросните сигнали нямат тези ограничения.

Последователност, която не отговаря на критериите за размер, които да се прилагат към дискретното преобразуване, може да бъде умножена чрез функция "прозорец" V, определяща поведението на последователността в контролиран параметър.

Х. V

Ширината на спектъра ще зависи от ширината на прозореца. С увеличаването на ширината на прозореца изчислената трансформация ще бъде по-тясна.

Приложения

Изчисляване на фундаменталното решение

Дискретната трансформация на Фурие е мощен инструмент в изследването на дискретни последователности.

Дискретното преобразуване на Фурие превръща непрекъсната функция на променлива в дискретна променлива трансформация.

Проблемът с Коши за уравнението на топлината представлява често поле за приложение на дискретната трансформация на Фурие . Когато се генерира основната функция на топлина или на ядрото на Дирихлет, което се прилага за стойности на извадка в определен параметър.

Теория на сигнала

Общата причина за прилагането на дискретна трансформация на Фурие в този клон се дължи главно на характерното разлагане на сигнал като безкрайно суперпозиция на по-лесно лечими сигнали.

Тя може да бъде звукова вълна или електромагнитна вълна, дискретната трансформация на Фурие я изразява в суперпозиция от прости вълни. Това представителство е доста често в електротехниката.

Серията Фурие

Те са серии, дефинирани по отношение на Cosines и Sines. Те служат за улесняване на работата с общи периодични функции. Когато се прилагат, те са част от техниките за решаване на обикновени и частични диференциални уравнения.

Сериите на Фурие са дори по-общи от сериите на Тейлър, защото развиват периодични прекъснати функции, които нямат представяне на сериите на Тейлър.

Други форми от поредицата Фурие

За да разберем трансформацията на Фурие аналитично, е важно да се разгледат другите начини, по които може да се намери поредицата на Фурие, докато серията на Фурие може да бъде определена в сложната му нотация.

-Fourier серия във функция от период 2L:

Разглежда се интервалът, който предлага предимства, когато се възползвате от симетричните характеристики на функциите.

Ако f е четно, серията на Фурие се установява като серия от Cosines.

Ако f е нечетно, серията на Фурие се установява като поредица от синуси.

-Комплексна нотация на серията Фурие

Ако имаме функция f (t), която отговаря на всички изисквания на серията на Фурие, е възможно да го обозначим в интервала, използвайки сложната му нотация:

Примери

По отношение на изчисляването на фундаменталното решение са представени следните примери:

От друга страна, са примери за прилагането на дискретна трансформация на Фурие в областта на теорията на сигнала:

-Проблеми с идентификацията на системата Установени f и g

-Проблема с консистенцията на изходния сигнал

-Проблеми със филтриране на сигнала

Упражнения

Упражнение 1

Изчислете дискретното преобразуване на Фурие за следната последователност.

Можете да определите PTO на x като:

X _t = {4, -j2, 0, j2} за k = 0, 1, 2, 3

Упражнение 2

Искаме да определим спектралния сигнал, определен от израза x (t) = e ^-t, чрез цифров алгоритъм. Когато коефициентът на искане на максимална честота е f _m = 1Hz. Една хармоника съответства на f = 0,3 Hz. Грешката е ограничена до по-малко от 5%. Изчислете f _s, D и N.

Като се вземе предвид теоремата за вземане на проби f _s = 2f _m = 2 Hz

Избира се честотна разделителна способност f ₀ = 0,1 Hz, от която получаваме D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz е честотата, съответстваща на индекса k = 3, където N = 3 × 8 = 24 проби. Указва, че f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Тъй като целта е да се получи възможно най-ниската стойност за N, следните стойности могат да се считат за решение:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Препратки

1. Овладяване на дискретна трансформация на Фурие в едно, две или няколко измерения: Капки и артефакти. Исак Амидър. Springer Science & Business Media, 19 юли. 2013
2. DFT: Ръководство на собственика за дискретна трансформация на Фурие. Уилям Л. Бригс, Ван Емд Хенсън. SIAM, 1 януари. деветнадесет деветдесет и пет
3. Цифрова обработка на сигнала: теория и практика. Д. Сундарараджан. World Scientific, 2003
4. Трансформации и бързи алгоритми за анализ и представяне на сигнали. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 декември. 2012
5. Дискретни и непрекъснати преобразувания на Фурие: анализ, приложения и бързи алгоритми. Елинор Чу. CRC Press, 19 март. 2008