ТРАПЕЦОВИДНА СКАЛА: СВОЙСТВА, ФОРМУЛИ И УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А разностранен трапец е многоъгълник с четири страни, две от които са успоредни една на друга, и с нейните четири вътрешни ъгли на различни мерки.

Четириъгълникът ABCD е показан по-долу, където страните AB и DC са успоредни една на друга. Това е достатъчно, за да бъде трапецоид, но също така, вътрешните ъгли α, β, γ и δ са различни, следователно трапецът е скален.

Фигура 1. Четириъгълник ABCD е трапецовиден от условие 1 и скален по условие 2. Източник: Ф. Сапата.

Елементи на скалния трапец

Ето най-характерните елементи:

-Основи и страни: успоредните страни на трапеца са неговите основи, а двете непаралелни страни са страни.

В мащабен трапецовидни основи са с различна дължина, както и страничните. Мащабният трапец може да има странична дължина, равна на основа.

-Median: е сегментът, който свързва средните точки на страничните.

-Диагонали: диагоналът на трапец е сегментът, който съединява две противоположни върхове. Трапецът, като всеки четириъгълник, има два диагонала. В мащабния трапец има различна дължина.

Други трапецоиди

Освен мащабния трапецовид, има и други специфични трапеции: десният трапецоид и равнобедрения трапец.

Трапецът е правоъгълник, когато единият му ъгъл е прав, докато равнобедрен трапец има страни с еднаква дължина.

Трапецовидната форма има многобройни приложения на ниво дизайн и индустрия, като например в конфигурацията на крилете на самолета, формата на предмети от ежедневието като маси, облегалки на столове, опаковки, портмонета, текстилни щампи и други.

Фигура 2. Трапецовидната форма е често срещана в крило конфигурацията на самолетите. Източник: Wikimedia Commons.

Имоти

Свойствата на мащабния трапецовид са изброени по-долу, много от които се простират и на другите видове трапецоиди. По-нататък, когато се говори за "трапецоид", свойството ще се прилага към всеки тип, включително и на скала.

1. Медианата на трапеца, тоест сегментът, свързващ средните точки на неговите непаралелни страни, е успореден на която и да е от основите.

2. - Средната дължина на трапеца има дължина, която е полусевата на тази на неговите основи и отрязва диагоналите му в средната точка.

3.- Диагоналите на трапец се пресичат в точка, която ги разделя на две секции, пропорционални на коефициентите на основите.

4.- Сумата от квадратите на диагоналите на трапец е равна на сумата от квадратите на страните му плюс двойното произведение на основите му.

5.- Сегментът, който свързва средните точки на диагоналите, има дължина, равна на разликата на половината от основите.

6.- Ъглите, съседни на страничните, са допълнителни.

7.- В мащабен трапецовид дължините на диагоналите му са различни.

8.- Трапецоидът има надписана обиколка, само ако сборът от основите му е равен на сбора на неговите страни.

9.- Ако трапецът има вписана обиколка, тогава ъгълът с върха в центъра на посочената обиколка и страните, които минават през краищата на страната на трапеца, е прав.

10.- Мащабният трапецоид няма описана обиколка, единственият тип трапецовид, който прави, е равнобедрените.

Формули и уравнения

Следващите отношения на скалния трапецовид се отнасят към следната фигура.

1.- Ако AE = ED и BF = FC → EF - AB и EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, което е: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = г ₁ /2 и AG = GC = г ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) по подобен начин CJ / JA = (c / a).

Фигура 3. Средни и диагонали на мащабен трапец. Източник: Ф. Сапата.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

По същия начин:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Това означава:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ и β + γ = 180⁰

8.- Ако α ≠ β ≠ γ ≠ δ, тогава d1 ≠ d2.

9.- Фигура 4 показва мащабен трапец, който има надписана обиколка, в този случай е вярно, че:

a + c = d + b

10.- В мащабен трапецовиден ABCD с вписана обиколка на центъра O важи и следното:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Фигура 4. Ако в трапец има проверка, че сборът на неговите основи е равен на сбора на страничните, тогава има вписана в него обиколка. Източник: Ф. Сапата.

височина

Височината на трапеца се определя като сегмент, който отива от точка на основата перпендикулярно на противоположната основа (или нейното удължаване).

Всички височини на трапеца имат едно и също измерване h, така че през повечето време думата височина се отнася до неговото измерване. Накратко, височината е разстоянието или раздялата между основите.

Височината h може да се определи, като се знае дължината на едната страна и един от ъглите, съседни на страната:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Медиана

Мярката m на медианата на трапеца е полусумата на основите:

m = (a + b) / 2

Диагонали

d ₁ = √

d ₂ = √

Той може също да се изчисли, ако е известна само дължината на страните на трапеца:

d ₁ = √

d ₂ = √

периметър

Периметърът е общата дължина на контура, тоест сумата от всичките му страни:

P = a + b + c + d

■ площ

Площта на трапеца е полусферата на неговите основи, умножена по височината му:

A = h ∙ (a + b) / 2

Може също да се изчисли, ако средната m е известна и височината h:

A = m ∙ h

В случай, че е известна само дължината на страните на трапеца, площта може да бъде определена с помощта на формулата на Херон за трапеца:

A = ∙ √

Където s е полупериметърът: s = (a + b + c + d) / 2.

Други съотношения за скалния трапец

Пресичането на медианата с диагоналите и паралела, който преминава през пресечната точка на диагоналите, поражда други взаимоотношения.

Фигура 5. Други отношения за скалния трапец. Източник: Ф. Сапата.

-Връзки за средния EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Връзки за отсечката, успоредна на базите KL, и преминаваща през пресечната точка J на диагоналите

Ако KL - AB - DC с J ∈ KL, тогава KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Изграждане на скалния трапец с владетел и компас

Като се имат предвид основите на дължини a и c, където a> cy със страни на дължини b и d, където b> d, продължете, като следвате тези стъпки (вижте фигура 6):

1.- С правилото се очертава сегментът на главния AB.

2.- От A se и върху AB маркирайте точка P, така че AP = c.

3.- С компаса с център в P и радиус d е начертана дъга.

4.- Направен е център в B с радиус b, като се изчертава дъга, която пресича дъгата, начертана в предишната стъпка. Наричаме Q точката на пресичане.

Фигура 6. Изграждане на мащабен трапецовид, даден на неговите страни. Източник: Ф. Сапата.

5.- С центъра на A нарисувайте дъга с радиус d.

6.- С центъра на Q нарисувайте дъга с радиус c, която пресича дъгата, начертана в предишната стъпка. Точката на прекъсване ще се нарича R.

7.- С линийката се рисуват сегменти BQ, QR и RA.

8.- Четириъгълник ABQR е мащабен трапец, тъй като APQR е паралелограм, който гарантира, че AB - QR.

пример

Следните дължини са дадени в см: 7, 3, 4 и 6.

а) Определете дали с тях е възможно да се изгради мащабен трапецовид, който може да опише кръг.

б) Намерете периметъра, площта, дължината на диагоналите и височината на споменатия трапец, както и радиуса на вписания кръг.

- Решение за

Използвайки сегментите с дължина 7 и 3 като основи и тези с дължина 4 и 6 като страни, може да бъде конструиран мащабен трапец, като се използва процедурата, описана в предишния раздел.

Остава да проверим дали има надписана обиколка, но да запомним свойството (9):

Виждаме това ефективно:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Тогава е изпълнено условието за съществуване на надписана обиколка.

- Решение b

периметър

Периметърът Р се получава чрез добавяне на страните. Тъй като основите добавят до 10, а страничните също, периметърът е:

P = 20 cm

■ площ

За да се определи зоната, известна само нейните страни, се прилага връзката:

A = ∙ √

Където s е полупериметърът:

s = (a + b + c + d) / 2.

В нашия случай полупериметърът е на стойност s = 10 cm. След заместване на съответните стойности:

a = 7 cm; b = 6 см; с = 3 см; d = 4 cm

останки:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

височина

Височината h е свързана с площта A със следния израз:

A = (a + c) ∙ h / 2, от който височината може да бъде получена чрез изчистване:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 cm.

Радиус на надписания кръг

Радиусът на вписания кръг е равен на половината от височината:

r = h / 2 = 1,984 cm

Диагонали

Накрая откриваме дължината на диагоналите:

d ₁ = √

d ₂ = √

Правилно заместване на стойностите, които имаме:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Тоест: d ₁ = 4,69 cm и d ₂ = 8,49 cm

Фигура 7. Трапецовидна скала, която отговаря на условието за съществуване на вписана обиколка. Източник: Ф. Сапата.

Упражнението е разрешено

Определете вътрешните ъгли на трапеца с основи AB = a = 7, CD = c = 3 и странични ъгли BC = b = 6, DA = d = 4.

Решение

Косинусовата теорема може да се приложи за определяне на ъглите. Например, ъгълът ∠A = α се определя от триъгълника ABD с AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 и DA = d = 4.

Косинусовата теорема, приложена към този триъгълник, изглежда така:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), тоест:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Решавайки за, косинусът на ъгъл α се получава:

Cos (α) = -1/8

Тоест, α = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰.

Останалите ъгли са получени по същия начин, като техните стойности са:

β = 41.41 °; γ = 138,59⁰ и накрая δ = 82,82⁰.

Препратки

1. CEA (2003). Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Grupo редакционна патрия.
3. Фрийд, К. (2007). Открийте полигони. Бенчмарк образователна компания.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщени многоъгълници. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Математика Първи семестър Tacaná. Iger.
6. Младши геометрия. (2014). Полигони. Lulu Press, Inc.
7. Милър, Херен и Хорнсби. (2006 г.). Математика: разсъждения и приложения (десето издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакционен прогрес.
9. Wikipedia. Трапец. Възстановено от: es.wikipedia.com