ТРАПЕЦОИД НА ISOSCELES: СВОЙСТВА, ВЗАИМООТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛИ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Един равнобедрен трапец е четириъгълник, в която две от страните са успоредни помежду си и в допълнение, два ъгъла, съседен на един от тези успоредни страни имат същата мярка.

На фигура 1 имаме четириъгълника ABCD, в който страните AD и BC са успоредни. Освен това ъглите ∠DAB и ∠ADC, съседни на успоредната страна AD, имат една и съща мярка α.

Фигура 1. Isosceles trapezium. Източник: Ф. Сапата.

Така че този четириъгълник, или четиристранният многоъгълник, в действителност е равнобедрен трапец.

В трапецовидните паралелни страни се наричат ​​основи, а непаралелните страни се наричат ​​странични. Друга важна характеристика е височината, която е разстоянието, което разделя паралелните страни.

Освен равнобедрения трапецовид има и други видове трапецовидни:

-T рапеидна скала, която има всички свои ъгли и различни страни.

-Правоъгълен рапезоид, при който едната страна има прави съседни ъгли.

Трапецовидната форма е често срещана в различни области на дизайна, архитектурата, електрониката, изчисленията и много други, както ще видим по-нататък. Оттук и значението на запознаването с неговите свойства.

Имоти

Изключително за равнобедрения трапец

Ако трапецът е равнобедрен, тогава той има следните характерни свойства:

1.- Страните имат едно и също измерване.

2.- Ъглите в съседство с основите са равни.

3.- Противоположните ъгли са допълнителни.

4.- Диагоналите имат една и съща дължина, като двата сегмента, които се присъединяват към противоположните върхове, са еднакви.

5.- Ъгълът, образуван между основите и диагоналите, са една и съща мярка.

6.- Има описана обиколка.

И обратното, ако трапецоидът отговаря на някое от горните свойства, тогава това е равнобедрен трапец.

Ако в равнобедрен трапец един от ъглите е прав (90º), тогава всички останали ъгли също ще бъдат прави, образувайки правоъгълник. Тоест, правоъгълник е особен случай на равнобедрен трапец.

Фигура 2. Контейнерът за пуканки и училищните маси са оформени като равнобедрен трапец. Източник: Pxfuel (вляво) / McDowell Craig чрез Flickr. (Вдясно)

За всички трапец

Следният набор от свойства е валиден за всеки трапец:

7.- Медианата на трапецовида, тоест сегментът, който свързва средните точки на неговите непаралелни страни, е успореден на някоя от основите.

8.- Дължината на медианата е равна на полусеума (сума, разделена на 2) от тази на нейните основи.

9.- Медианата на трапеца прерязва диагоналите си в средната точка.

10.- Диагоналите на трапец се пресичат в точка, която ги разделя на две секции, пропорционални на коефициентите на основите.

11.- Сумата от квадратите на диагоналите на трапец е равна на сумата от квадратите на страните му плюс двойното произведение на основите му.

12.- Сегментът, който свързва средните точки на диагоналите, има дължина, равна на полу-разликата на основите.

13.- Ъглите, съседни на страните, са допълнителни.

14.- Трапецоидът има вписана обиколка, ако и само ако сборът от основите му е равен на сбора на неговите страни.

15.- Ако трапецът има вписана обиколка, тогава ъглите с върха в центъра на посочената обиколка и страни, които минават през краищата на същата страна, са прави ъгли.

Връзки и формули

Следният набор от взаимоотношения и формули са посочени на фигура 3, където в допълнение към равнобедрения трапецовидни са показани и други важни вече сегменти, като диагонали, височина и средна стойност.

Фигура 3. Медиана, диагонали, височина и описана обиколка в равнобедрен трапец. Източник: Ф. Сапата.

Уникални взаимоотношения на равнобедрения трапец

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA и ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º и ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C и D принадлежат към описания кръг.

Връзки за всеки трапец

1. Ако AK = KB и DL = LC ⇒ KL - AD и KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 и DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC и DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º и ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Ако AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, отколкото на еднакво разстояние от AD, BC, AB и DC

15.- Ако ∃ R на еднакво разстояние от AD, BC, AB и DC, тогава:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Връзки за равнобедрен трапец с надписана обиколка

Ако в равнобедрен трапецопад сумата от основите е равна на два пъти по-странична, тогава надписаният кръг съществува.

Фигура 4. Трапец с надписана обиколка. Източник: Ф. Сапата.

Следните свойства важат, когато равнобедрения трапец има вписана обиколка (виж фигура 4 по-горе):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Диагоналите се пресичат под прав ъгъл: AC ⊥ BD

18.- Височината измерва същата като средната: HF = KL, тоест h = m.

19.- Квадратът на височината е равен на произведението на основите: h ² = BC⋅AD

20.- При тези специфични условия площта на трапеца е равна на квадрата на височината или произведението на основите: Площ = h ² = BC⋅AD.

Формули за определяне на едната страна, познаване на другите и ъгъл

Познавайки основа, страничната и ъгъла, другата основа може да се определи чрез:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Ако дължината на основите и ъгъл са дадени като известни данни, тогава дължините на двете страни са:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Определяне на едната страна, познаване на другите и диагонал

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Където d ₁ е дължината на диагоналите.

База от височина, площ и друга основа

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Известни странични основи, площ и ъгъл

c = (2A) /

Известна странична средна, площ и ъгъл

c = A / (m sin α)

Известна височина на страните

h = √

Известна височина ъгъл и две страни

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Известни диагонали от всички страни, или две страни и ъгъл

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Периметър на равнобедрения триъгълник

P = a + b + 2c

Зоната на трапеца Isosceles

Има няколко формули за изчисляване на площта, в зависимост от данните, които са известни. Следното е най-известно, в зависимост от основите и височината:

A = h⋅ (a + b) / 2

И можете също да използвате тези други:

-Ако страните са известни

A = √

-Когато имате две страни и ъгъл

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Ако са известни радиусът на вписания кръг и ъгъл

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Когато са известни основите и ъгълът

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Ако на трапец може да бъде надписана обиколка

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Познайте диагоналите и ъгъла, който образуват един с друг

А = (г ₁ ² /2) γ = Sen (г ₁ ² /2) делта Sen

-Когато имате странична, средна и ъгъл

A = mc.sen α = mc.sen β

Радиус на описания кръг

Само равнобедрените трапеции имат описана обиколка. Ако по-голямата основа a, страничната с и диагоналът d _{1 са известни}, то радиусът R на окръжността, която преминава през четирите върха на трапеца, е:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Където p = (a + c + d ₁) / 2

Примери за използване на равнобедрен трапец

Равнобедреният трапец се появява в областта на дизайна, както се вижда на фигура 2. И ето някои допълнителни примери:

В архитектурата и строителството

Древните инки познавали равнобедрения трапец и го използвали като строителен елемент в този прозорец в Куско, Перу:

Фигура 5. Трапецовиден прозорец на Coricancha, Куско. Източник: Wikimedia Commons.

И тук трапецът се появява отново в така наречения трапецовиден лист, материал, често използван в строителството:

Фигура 6. Трапецовиден метален лист временно защитаващ прозорците на сградата. Източник: Wikimedia Commons.

В дизайна

Вече видяхме, че равнобедрения трапец се появява в ежедневните предмети, включително храни като този шоколадов бар:

Фигура 7. Шоколадова лента, чиито лица са оформени като равнобедрен трапец. Източник: Pxfuel.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Еднобедреният трапецовид има основа, по-голяма от 9 cm, основа по-малка от 3 cm, а диагоналите му 8 cm всеки. Изчисли:

настрана

б) Височина

в) Периметър

г) Площ

Фигура 8. Схема за упражнение 1. Източник: Ф. Сапата

Решение за

Начертана е височината CP = h, където подножието на височината определя сегментите:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Използване на теоремата на Питагор за десния триъгълник DPC:

в ² = Н ² + (а - б) ² /4

И също така към десния триъгълник APC:

г ² = Н ² + AP ² = Н ² + (А + В) ² /4

Накрая, член от член се изважда, второто уравнение от първото и опростено:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Решение b

з ² = D ² - (А + В) ² / R4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Решение c

Периметър = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Решение г

Площ = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 cm

- Упражнение 2

Има равнобедрен трапец, чиято по-голяма основа е два пъти по-малка, а по-малката му основа е равна на височината, която е 6 cm. Реши:

а) Дължината на страничната

б) Периметър

в) Площ

г) ъгли

Фигура 8. Схема за упражнение 2. Източник: Ф. Сапата

Решение за

Данни: a = 12, b = a / 2 = 6 и h = b = 6

Продължаваме по този начин: изчертаваме височината h и прилагаме Питагоровата теорема към триъгълника на хипотенузата «c» и краката h и x:

c ² = h ² + xc ²

След това трябва да изчислите стойността на височината от данните (h = b) и тази на крака x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Замяна на предишните изрази имаме:

в ² = б ² + (аб) ² /2 ²

Сега се въвеждат числовите стойности и се опростява:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Получаване:

c = 3√5 = 6,71 cm

Решение b

Периметърът P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Решение c

Площта като функция от височината и дължината на основите е:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Решение г

Ъгълът α, който страничните форми с по-голямата основа се получава чрез тригонометрия:

Тан (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Другият ъгъл, този, който образува страничната с по-малката основа, е β, който е допълнителен към α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Препратки

1. EA 2003. Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
2. Campos, F. 2014. Математика 2. Grupo редакционна патрия.
3. Фрийд, К. 2007. Открийте полигони. Бенчмарк образователна компания.
4. Хендрик, В. 2013. Обобщени многоъгълници. Birkhauser.
5. Iger. Математика Първи семестър Tacaná. Iger.
6. Младши геометрия. 2014. Полигони. Lulu Press, Inc.
7. Милър, Херен и Хорнсби. 2006. Математика: разсъждения и приложения. 10-ти. Edition. Pearson Education.
8. Патиньо, М. 2006. Математика 5. Редакционен прогрес.
9. Wikipedia. Трапец. Възстановено от: es.wikipedia.com