ПРАВ ТРАПЕЦОИД: СВОЙСТВА, ВЗАИМООТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛИ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А полето трапец е плоска фигура с четири страни, така че две от тях са успоредни една на друга, наречени бази, а също и един от другите страни е перпендикулярна на базите.

Поради тази причина два от вътрешните ъгли са прави, тоест те измерват 90º. Оттук и името „правоъгълник“, което е дадено на фигурата. Следното изображение на десен трапец пояснява тези характеристики:

Трапецовидни елементи

Елементите на трапеца са:

-Bases

-Vertices

-Height

-Вътрешни ъгли

-Средна база

-Diagonals

Ще детайлираме тези елементи с помощта на фигури 1 и 2:

Фигура 1. Прав трапец, характеризиращ се с това, че има два вътрешни ъгъла от 90 °: A и B. Източник: F. Zapata.

Страните на десния трапец се означават с малки букви a, b, c и d. Ъглите на фигурата или върховете са обозначени с главни букви. Накрая вътрешните ъгли са изразени с гръцки букви.

Според определението основите на този трапец са страни a и b, които, както се вижда, са успоредни и също имат различна дължина.

Страничната перпендикулярна на двете основи е страна c отляво, което е височината h на трапеца. И накрая, има страна d, която образува острия ъгъл α със страна a.

Сумата от вътрешните ъгли на четириъгълник е 360º. Лесно е да се види, че липсващият ъгъл С на фигурата е 180 - α.

Средната основа е сегментът, свързващ средните точки на непаралелните страни (сегмент EF на фигура 2).

Фигура 2. Елементите на десния трапец. Източник: Ф. Сапата.

И накрая, там са диагоналите d ₁ и d ₂, сегментите, които се съединяват с противоположните върхове и които се пресичат в точка O (виж фигура 2).

Връзки и формули

Височина на трапеца h

Периметър P

Това е мярката на контура и се изчислява чрез добавяне на страните:

Страницата d се изразява като височина или страна c с теоремата на Питагора:

Заместване в периметъра:

Средна база

Това е полусумата на основите:

Понякога средната база се намира изразена така:

■ площ

Площта A на трапеца е произведение на средната основа, кратна на височината:

Диагонали, страни и ъгли

На фигура 2 се появяват няколко триъгълника, както правилни, така и десни. Питагоровата теорема може да се приложи към тези, които са правилни триъгълници, и към тези, които не са, косинусите и синусите.

По този начин се намират връзки между страните и между страните и вътрешните ъгли на трапеца.

CPA триъгълник

Той е правоъгълник, краката му са равни и струват b, докато хипотенузата е диагонала d ₁, следователно:

DAB триъгълник

Той също е правоъгълник, краката са a и c (или също ayh), а хипотенузата е d ₂, така че:

CDA триъгълник

Тъй като този триъгълник не е десен триъгълник, към него се прилага косинусната теорема, или също така теоремата за синусите.

Според теоремата за косинуса:

CDP триъгълник

Този триъгълник е десен триъгълник и със страните му са изградени тригонометричните съотношения на ъгъла α:

Но страната PD = a - b, следователно:

Имате и:

CBD триъгълник

В този триъгълник имаме ъгъла, чийто връх е на C. Той не е отбелязан на фигурата, но в началото беше подчертано, че е 180 - α. Този триъгълник не е правилен, така че косинусовата теорема или синусовата теорема може да се приложи.

Сега лесно може да се покаже, че:

Прилагане на теоремата за косинуса:

Примери за десни трапецоиди

Трапецоидите и по-специално правилните трапеции се срещат от много страни и понякога не винаги са в осезаема форма. Тук имаме няколко примера:

Трапецът като елемент на дизайна

Геометричните фигури изобилстват в архитектурата на много сгради, като тази църква в Ню Йорк, която показва структура във формата на правоъгълен трапец.

По същия начин трапецовидната форма е честа при проектирането на контейнери, контейнери, остриета (резачки или точни), плочи и в графичен дизайн.

Фигура 3. Ангел вътре в правоъгълна трапеция в църква в Ню Йорк. Източник: Дейвид Гьоринг чрез Flickr.

Генератор на трапецовидна вълна

Електрическите сигнали не могат да бъдат само квадратни, синусоидални или триъгълни. Има и трапецовидни сигнали, които са полезни в много схеми. На фигура 4 има трапецовиден сигнал, съставен от два десни трапецоида. Между тях те образуват единичен равнобедрен трапец.

Фигура 4. Трапецовиден сигнал. Източник: Wikimedia Commons.

В числово изчисление

За да се изчисли в числова форма определения интеграл на функцията f (x) между a и b, трапецовидното правило се използва за приближаване на площта под графиката на f (x). На следващата фигура отляво интегралът е апроксимиран с единичен десен трапец.

По-добро приближение е това в правилната фигура, с множество десни трапеции.

Фигура 5. Определен интеграл между a и b не е нищо друго освен областта под кривата f (x) между тези стойности. Десният трапец може да послужи като първо сближаване за такава зона, но колкото повече трапецоиди се използват, толкова по-добре е приближението. Източник: Wikimedia Commons.

Греди с трапецовиден товар

Силите не винаги са концентрирани върху една точка, тъй като телата, върху които действат, имат значителни размери. Такъв е случаят с мост, над който превозните средства непрекъснато циркулират, водата от плувен басейн по вертикалните стени на същия или покрив, върху който се натрупват вода или сняг.

Поради тази причина силите се разпределят на единица дължина, повърхност или обем, в зависимост от тялото, върху което действат.

В случай на лъч, силата, разпределена на единица дължина, може да има различни разпределения, например десния трапец, показан по-долу:

Фигура 6. Натоварвания върху греда. Източник: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

В действителност разпределението не винаги съответства на правилни геометрични фигури като тази, но в много случаи те могат да бъдат добро приближение.

Като средство за обучение и обучение

Геометрични блокове и снимки, включително трапецоиди, са много полезни за запознаване на децата с увлекателния свят на геометрията от най-ранна възраст.

Фигура 7. Блокове с прости геометрични фигури. Колко прави трапецоиди са скрити в блоковете? Източник: Wikimedia Commons.

Решени упражнения

- Упражнение 1

В десния трапец на фигура 1, по-голямата основа е 50 см, а по-малката основа е равна на 30 см, известно е също, че косата страна е 35 cm. Намирам:

а) Ъгъл α

б) Височина

в) Периметър

г) Средна база

д) Площ

е) Диагонали

Решение за

Данните за извлеченията се обобщават, както следва:

a = по-голяма основа = 50 cm

b = по-малка основа = 30 cm

d = наклонена страна = 35 cm

За да намерим ъгъла α, посещаваме раздела за формули и уравнения, за да видим кой е най-подходящият за предоставените данни. Търсеният ъгъл се намира в няколко от анализираните триъгълници, например CDP.

Там имаме тази формула, която съдържа неизвестното, а също и данните, които знаем:

По този начин:

Изчиства h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

А за диагонала d ₂:

Препратки

1. Балдор, А. 2004. Плоска и космическа геометрия с тригонометрия. Културни публикации.
2. Бедфорд, А. 1996. Статика. Addison Wesley Interamericana.
3. Младши геометрия. 2014. Полигони. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Правоъгълен трапец. Възстановени от: es.onlinemschool.com.
5. Автоматично решаване на проблем с геометрията. Трапецът. Възстановена от: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Трапецовидни (геометрия). Възстановено от: es.wikipedia.org.