ОСТЪР ТРИЪГЪЛНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ВИДОВЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

На триъгълници остри са тези, чиито три вътрешни ъгли са остри ъгли; тоест мярката на всеки от тези ъгли е по-малка от 90 ° градуса. Като нямаме прав ъгъл, имаме, че теоремата на Питагор не се отнася за тази геометрична фигура.

Следователно, ако искаме да имаме някакъв вид информация за която и да е от неговите страни или ъгли, е необходимо да използваме други теореми, които ни позволяват да имаме достъп до посочените данни. Можем да използваме теоремата за синусите и косинуса.

характеристики

Сред характеристиките, които има тази геометрична фигура, можем да подчертаем тези, които са дадени от простия факт, че е триъгълник. Сред тях имаме:

- Триъгълник е многоъгълник, който има три страни и три ъгъла.

- Сумата от трите й вътрешни ъгъла е равна на 180 °.

- Сумата от две страни е винаги по-голяма от третата.

Като пример нека разгледаме следния триъгълник ABC. По принцип ние идентифицираме страните му с малка буква и ъглите му с главна буква, по такъв начин, че едната страна и нейният противоположен ъгъл имат една и съща буква.

От дадените вече характеристики знаем, че:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b и b + c> a

Основната характеристика, която отличава този тип триъгълник от останалите, е, че както вече споменахме, вътрешните му ъгли са остри; тоест мярката на всеки от неговите ъгли е по-малка от 90 °.

Острите триъгълници, заедно с тъпите триъгълници (тези, при които единият им ъгъл има мярка по-голяма от 90 °), са част от множеството наклонени триъгълници. Този комплект е съставен от триъгълниците, които не са прави ъгли.

Тъй като косите триъгълници са част, ние трябва да можем да решаваме проблеми, включващи остри триъгълници, трябва да използваме теоремата за синусите и косинусната теорема.

Синусова теорема

Теоремата за синусите ни казва, че съотношението на едната страна към синуса на нейния противоположен ъгъл е равно на два пъти по-голям радиус на окръжността, образувана от трите върха на споменатия триъгълник. Това означава:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Косинусова теорема

От друга страна, теоремата за косинуса ни дава тези три равенства за всеки триъгълник ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Тези теореми са известни също като закон на синуса и съответно закон на косинуса.

Друга характеристика, която можем да дадем на острите триъгълници е, че два от тях са равни, ако отговарят на някой от следните критерии:

- Ако имат същите три страни.

- Ако имат една страна и два равни ъгъла един към друг.

- Ако имат две равни страни и ъгъл.

Видове

Острите триъгълници могат да бъдат класифицирани според страните им. Те могат да бъдат:

Равностранни остри триъгълници

Те са острите триъгълници, които имат всички страни еднакви и следователно всичките им вътрешни ъгли имат една и съща стойност, която е A = B = C = 60 ° градуса.

Като пример, нека вземем следния триъгълник, чиито страни a, b и c имат стойност 4.

Изосцеле остри триъгълници

Тези триъгълници, освен че имат остри вътрешни ъгли, имат характеристиката да имат две от техните равни страни, а третата, която обикновено се приема за основа, различна.

Пример за този тип триъгълник може да бъде този, чиято основа е 3, а другите му две страни имат стойност 5. При тези измервания той би имал противоположните ъгли на равни страни със стойността 72,55 ° и противоположния ъгъл на основата ще бъде 34,9 °.

Скалени остри триъгълници

Това са триъгълниците, които всички имат различни страни две по две. Следователно, всичките ъгли в него, освен че са под 90 °, са различни от два до два.

Триъгълникът DEF (чиито мерки са d = 4, e = 5 и f = 6, а ъглите му са D = 41.41 °, E = 55.79 ° и F = 82.8 °) е добър пример за остър триъгълник разностранен.

Разделителна способност на остри триъгълници

Както казахме преди, за решаване на проблеми, свързани с остри триъгълници, е необходимо да се използват теоремите за синусите и косинусите.

Пример 1

Като имаме предвид триъгълник ABC с ъгли A = 30 °, B = 70 ° и страна a = 5cm, искаме да знаем стойността на ъгъл C и страните b и c.

Първото нещо, което правим, е да използваме факта, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е 180 °, за да се получи стойността на ъгъл С.

180 ° = А + В + С = 30 ° + 70 ° + С = 100 ° + С

Ние изчистваме C и имаме:

С = 180 ° - 100 ° = 80 °

Тъй като вече знаем трите ъгъла и едната страна, можем да използваме теоремата за синусите, за да определим стойността на останалите страни. По теоремата имаме:

a / sin (A) = b / sin (B) и a / sin (A) = c / (sin (C)

Изолираме b от уравнението и ни остава:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Сега остава само да изчислим стойността на c. Продължаваме по същия начин, както в предишния случай:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

Така получаваме всички данни на триъгълника. Както виждаме, този триъгълник попада в категорията на скален остър триъгълник.

Пример 2

Като имаме предвид триъгълник DEF със страни d = 4cm, e = 5cm и f = 6cm, искаме да знаем стойността на ъглите на споменатия триъгълник.

За този случай ще използваме косинусовия закон, който ни казва, че:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

От това уравнение можем да решим за cos (D), което ни дава резултат:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Следователно имаме D≈ 41.41 °

Използвайки сега теоремата на сенома, имаме следното уравнение:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Решавайки греха (Е), ние имаме:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

Следователно имаме E≈55.79 °

И накрая, използвайки, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е 180 °, имаме F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Геометрия (препечат. Изд.). Прогрес.
2. Leake, D. (2006). Триъгълници (илюстрирано изд.). Хайнеман-Рейнтрий.
3. Лиал Г. Хуан Мануел. (2003). Плоска метрична геометрия. CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрии. CR технология.
5. Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Pearson Education.