СКАЛЕН ТРИЪГЪЛНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ФОРМУЛА И ОБЛАСТИ, ИЗЧИСЛЕНИЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

А разностранен триъгълник е многоъгълник с три страни, всички от които имат различни мерки или дължини; поради тази причина му е дадено името на скала, което на латински означава изкачване.

Триъгълниците са многоъгълници, считани за най-прости в геометрията, защото са съставени от три страни, три ъгъла и три върха. В случая на скалния триъгълник, като всички страни са различни, това означава, че трите му ъгъла също ще бъдат.

Характеристики на скални триъгълници

Скаленовите триъгълници са прости многоъгълници, тъй като никоя от страните или ъглите им няма една и съща мярка, за разлика от равнобедрените и равностранните триъгълници.

Тъй като всичките им страни и ъгли имат различни мерки, тези триъгълници се считат за неправилни изпъкнали многоъгълници.

Въз основа на амплитудата на вътрешните ъгли, скалните триъгълници се класифицират като:

• Скален десен триъгълник: всички страни са различни. Единият ъгъл е прав (90 ^или), а другите са остри и с различни мерки.
• Тъст мащабен триъгълник: всички страни са различни и един от неговите ъгли е тъп (> 90 ^или).
• Скален остър триъгълник: всички страни са различни. Всички ъгли са остри (<90 ^или) с различни мерки.

Друга характеристика на скалните триъгълници е, че поради несъответствието на техните страни и ъгли те нямат ос на симетрия.

елементи

Медианата: това е линия, която започва от средната точка на едната страна и достига до противоположния връх. Тримата медиани се срещат в точка, наречена барицентър или центроид.

Бисектрисата: това е лъч, който разделя всеки ъгъл на два ъгъла с еднаква мярка. Бисектрисите на триъгълник се срещат в точка, наречена стимулатор.

Бисектрисата: представлява отсечка, перпендикулярна на страната на триъгълника, която има своя произход в средата на него. В триъгълник има три бисектриси и те се срещат в точка, наречена окръжност.

Височината: тя е линията, която преминава от върха към страната, която е противоположна, а също така тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

Имоти

Скаленовите триъгълници са дефинирани или идентифицирани, защото имат няколко свойства, които ги представляват, произхождащи от теоремите, предложени от велики математици. Те са:

Вътрешни ъгли

Сумата от вътрешните ъгли винаги е равна на 180 ^°.

Сума на страните

Сумата от мерките на две страни винаги трябва да е по-голяма от мярката на третата страна, a + b> c.

Нечестни страни

Всички страни на скалните триъгълници имат различни мерки или дължини; тоест те са несъвместими.

Безгрешни ъгли

Тъй като всички страни на скалния триъгълник са различни, неговите ъгли също ще бъдат. Въпреки това, сборът на вътрешните ъгли винаги ще бъде равен на 180º, а в някои случаи един от неговите ъгли може да бъде тъп или прав, докато в други всички негови ъгли ще бъдат остри.

Височина, медиана, бисектриса и бисектриса не са случайни

Подобно на всеки триъгълник, Scane има различни линейни сегменти, които го съставят, като: височина, медиана, бисектриса и бисектриса.

Поради особеността на неговите страни, в този тип триъгълник никоя от тези линии няма да съвпадне в една.

Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и циркумцентърът не са съвпадения

Тъй като височината, медианата, бисектрисата и бисектрисата са представени от различни линейни сегменти, в мащабен триъгълник точките на среща - ортоцентърът, стимулаторът и окръжният център - ще бъдат открити в различни точки (те не съвпадат).

В зависимост от това дали триъгълникът е остър, прав или мащабен, ортоцентърът има различни места:

да се. Ако триъгълникът е остър, ортоцентърът ще бъде вътре в триъгълника.

б. Ако триъгълникът е прав, ортоцентърът ще съвпадне с върха на дясната страна.

° С. Ако триъгълникът е тъп, ортоцентърът ще бъде от външната страна на триъгълника.

Относителни височини

Височините са относителни към страните.

В случая на скалния триъгълник тези височини ще имат различни измервания. Всеки триъгълник има три относителни височини и за изчисляването им се използва формулата на Херон.

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на многоъгълник се изчислява чрез добавяне на страните.

Тъй като в този случай мащабният триъгълник има всички страни с различни мерки, периметърът му ще бъде:

P = страна a + страна b + страна c.

Как да се изчисли площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по една и съща формула, като се умножава височината на основните времена и се дели на две:

Площ = (база _* h) ÷ 2

В някои случаи височината на скалния триъгълник не е известна, но има формула, предложена от математика Херон, за да се изчисли площта, познаваща мярката на трите страни на триъгълник.

Където:

• a, b и c, представляват страните на триъгълника.
• sp, съответства на полупериметъра на триъгълника, тоест на половината от периметъра:

sp = (a + b + c) ÷ 2

В случай, че имаме само мярката на две от страните на триъгълника и ъгъла, образуван между тях, площта може да бъде изчислена чрез прилагане на тригонометричните съотношения. Така че трябва да:

Площ = (страна _* h) ÷ 2

Когато височината (h) е произведение на едната страна и синусът на противоположния ъгъл. Например за всяка страна зоната ще бъде:

• Площ = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Площ = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Площ = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Как да изчислим височината?

Тъй като всички страни на скалния триъгълник са различни, не е възможно да се изчисли височината с теоремата на Питагор.

От формулата на Херон, която се основава на измерванията на трите страни на триъгълник, може да се изчисли площта.

Височината може да се изчисти от общата формула на района:

Страната се заменя с мярката на a, b или c.

Друг начин за изчисляване на височината, когато е известна стойността на един от ъглите, е чрез прилагане на тригонометричните съотношения, където височината ще представлява крак на триъгълника.

Например, когато ъгълът, разположен срещу височината, е известен, той ще се определя от синуса:

Как да изчислим страните?

Когато имате мярката на две страни и ъгъла срещу тях, е възможно да определите третата страна, като приложите теоремата за косинусите.

Например в триъгълник AB се изобразява височината спрямо сегмента AC. По този начин триъгълникът се разделя на два десни триъгълника.

За да изчислите страна c (сегмент AB), приложете теоремата на Питагор за всеки триъгълник:

• За синия триъгълник имаме:

c ² = h ² + m ²

Тъй като m = b - n, заместваме:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ².

• За розовия триъгълник трябва да:

h ² = a ² - n ²

Той се замества в предишното уравнение:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Знаейки, че n = a _* cos C, той се замества в предишното уравнение и се получава стойността на страна c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Съгласно закона на косинусите, страните могат да бъдат изчислени като:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Има случаи, когато мерките на страните на триъгълника не са известни, а по-скоро тяхната височина и ъглите, образувани при върховете. За да се определи площта в тези случаи е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения.

Познавайки ъгъла на един от неговите върхове, краката се идентифицират и се използва съответното тригонометрично съотношение:

Например кракът AB ще бъде противоположен за ъгъл С, но съседен на ъгъл А. В зависимост от страната или крака, съответстващи на височината, другата страна се изчиства, за да се получи стойността на това.

Упражнения

Първо упражнение

Изчислете площта и височината на скалния триъгълник ABC, като знаете, че страните му са:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Решение

Като данни са дадени измерванията на трите страни на скалния триъгълник.

Тъй като стойността на височината не е налична, площта може да бъде определена чрез прилагане на формулата на Heron.

Първо се изчислява полупериметърът:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 см + 12 см + 16 см) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Сега стойностите са заместени във формулата на Heron:

Познавайки площта, височината спрямо страната b може да бъде изчислена. От общата формула, изчиствайки го, имаме:

Площ = (страна _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46.47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Второ упражнение

Като се има предвид мащабният триъгълник ABC, чиито мерки са:

• Сегмент AB = 25 m.
• Сегмент BC = 15 m.

Върху В се образува ъгъл 50 °. Изчислете височината спрямо страната c, периметъра и площта на този триъгълник.

Решение

В този случай имаме измерванията на две страни. За да се определи височината е необходимо да се изчисли измерването на третата страна.

Тъй като е даден ъгълът, противоположен на дадените страни, е възможно да се приложи законът на косинусите, за да се определи мярката на страничната AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Където:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Данните се заменят:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

б ² = 367,985

b = 67367,985

b = 19,18 m.

Тъй като вече имаме стойността на трите страни, периметърът на този триъгълник се изчислява:

P = страна a + страна b + страна c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Сега е възможно да се определи площта чрез прилагане на формулата на Херон, но първо трябва да се изчисли полупериметърът:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Измерванията на страните и полупериметъра се заместват във формулата на Херон:

Накрая знаейки района, може да се изчисли височината спрямо страната с. От общата формула, изчиствайки я, трябва да:

Площ = (страна _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Трето упражнение

В мащабния триъгълник страна ABC b е 40 cm, страната c е 22 cm, а на върха A се образува ъгъл 90 ^или. Изчислете площта на този триъгълник.

Решение

В този случай са дадени мерките на две страни на мащабния триъгълник ABC, както и ъгълът, който се образува във върха А.

За да се определи площта, не е необходимо да се изчислява мярката на страна a, тъй като чрез тригонометричните съотношения ъгълът се използва за нейното намиране.

Тъй като ъгълът, противоположен на височината, е известен, той ще се определя от произведението на едната страна и синуса на ъгъла.

Замествайки във формулата на зоната имаме:

• Площ = (страна _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Площ = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Площ = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Площ = (40 см _* 22 см _* 1) ÷ 2

Площ = 880 см ² ÷ 2

Площ = 440 см ².

Препратки

1. Алваро Редон, AR (2004). Техническа рисунка: тетрадка за дейности.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Геометрии. CR технология,.
3. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Barbosa, JL (2006). Плоска евклидова геометрия. Рио де Жанейро,.
6. Coxeter, H. (1971). Основи на геометрията. Мексико: Лимуза-Уайли.
7. Даниел К. Александър, GM (2014). Елементарна геометрия за студенти от колежа. Учене в Cengage.
8. Harpe, P. d. (2000 г.). Теми в геометричната теория на групата. University of Chicago Press.