ТРИЪГЪЛНИК НА ИЗОСКЕЛЕТА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ФОРМУЛА И ПЛОЩ, ИЗЧИСЛЕНИЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

Един равнобедрен триъгълник е многоъгълник с три страни, където две от тях имат една и съща мярка и третата страна различна мярка. Тази последна страна се нарича база. Поради тази характеристика му беше дадено това име, което на гръцки означава „равни крака“

Триъгълниците са многоъгълници, считани за най-прости в геометрията, защото са съставени от три страни, три ъгъла и три върха. Те са тези, които имат най-малък брой страни и ъгли по отношение на останалите многоъгълници, но тяхното използване е много широко.

Характеристика на равнобедрените триъгълници

Равнобедреният триъгълник е класифициран като се използва мярката на неговите страни като параметър, тъй като две от страните му са конгруентни (имат еднаква дължина).

Въз основа на амплитудата на вътрешните ъгли, равнобедрените триъгълници се класифицират като:

• Дясен триъгълник Isosceles: две от страните му са равни. Един ъгъл е прав (90 ^или), а другите са на едни и същи (45 ^или всеки)
• Isosceles тъп триъгълник: две от страните му са равни. Един от ъглите е тъп (> 90 ^или).
• Изостелез остър триъгълник: две от страните му са равни. Всички ъгли са остри (<90 ^или), когато и двата имат една и съща мярка.

елементи

• Медианата: това е линия, която започва от средната точка на едната страна и достига до противоположния връх. Тримата медиани се срещат в точка, наречена барицентър или центроид.
• Бисектрисата: това е лъч, който разделя ъгъла на всеки връх на два ъгъла с еднаква мярка. Ето защо тя е известна като оста на симетрия и този тип триъгълници има само един.
• Бисектрисата: представлява отсечка, перпендикулярна на страната на триъгълника, която има своя произход в средата на него. Има три посредника в триъгълник и те се срещат в точка, наречена окръжност.
• Височината: тя е линията, която преминава от върха към страната, която е противоположна, а също така тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

Имоти

Изоъгълните триъгълници са дефинирани или идентифицирани, защото имат няколко свойства, които ги представляват, произхождащи от теоремите, предложени от велики математици:

Вътрешни ъгли

Сумата от вътрешните ъгли винаги е равна на 180 ^°.

Сума на страните

Сумата от мерките на две страни винаги трябва да е по-голяма от мярката на третата страна, a + b> c.

Конгрунтни страни

Изоъгълните триъгълници имат две страни с една и съща мярка или дължина; тоест те са конгруентни и третата страна е различна от тях.

Конгрунтни ъгли

Изосцелевите триъгълници са известни също като изоъгълни триъгълници, тъй като имат два ъгъла, които имат една и съща мярка (конгруентна). Те са разположени в основата на триъгълника, противоположно на страните, които са с еднаква дължина.

Поради това се генерира теоремата, която гласи, че:

"Ако триъгълникът има две конгруентни страни, ъглите срещу тези страни също ще бъдат конгруентни." Следователно, ако триъгълникът е равнобедрен, ъглите на неговите основи са конгруентни.

Пример:

Следващата фигура показва триъгълник ABC. Чрез изчертаване на своята бисектриса от върха на ъгъл В към основата триъгълникът се разделя на два равни триъгълника BDA и BDC:

По този начин ъгълът на върха В също беше разделен на два равни ъгъла. Бисектрисата вече е общата страна (BD) между тези два нови триъгълника, докато страните AB и BC са конгруентните страни. По този начин имаме случай на странична, ъглова, странична (LAL) конгруенция.

Това показва, че ъглите на върховете А и С имат една и съща мярка, както и може да се покаже, че тъй като триъгълниците BDA и BDC са конгруентни, страните AD и DC също са конгруентни.

Височина, медиана, бисектриса и бисектриса са съвпадащи

Линията, която е изтеглена от върха срещу основата до средната точка на основата на равнобедрения триъгълник, е едновременно с това височината, средната и бисектриса, както и бисектрисата спрямо противоположния ъгъл на основата.

Всички тези сегменти съвпадат в един, който ги представя.

Пример:

Следващата фигура показва триъгълника ABC със средна точка M, който разделя основата на два сегмента BM и CM.

Чрез изчертаване на сегмент от точка М до противоположния връх, по дефиниция се получава медианата АМ, която е относителна към върха А и страничната BC.

Тъй като сегментът AM разделя триъгълника ABC на два равни триъгълника AMB и AMC, това означава, че случаят на конгруентност страна, ъгъл, страна ще има и следователно AM ще бъде и бисектриса на BÂC.

Следователно, бисектрисата винаги ще бъде равна на средната и обратно.

Сегментът AM образува ъгли, които имат една и съща мярка за триъгълници AMB и AMC; тоест те са допълващи по такъв начин, че мярката на всеки от тях ще бъде:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^или

2 _* Мед. (AMC) = 180 ^или

Мед. (AMC) = 180 ^или ÷ 2

Мед. (AMC) = 90 ^или

Може да се знае, че ъглите, образувани от AM сегмента по отношение на основата на триъгълника, са прави, което показва, че този сегмент е напълно перпендикулярен на основата.

Следователно той представлява височината и бисектрисата, знаейки, че M е средната точка.

Следователно линията AM:

• Представя се във височината на пр. Н. Е.
• Има среден размер.
• Съдържа се в бисектриса на пр. Н. Е.
• Той е бисектриса на върховия ъгъл Â

Относителни височини

Височините, които са относителни на равни страни, имат и същото измерване.

Тъй като равнобедреният триъгълник има две равни страни, двете им съответни височини също ще са равни.

Ортоцентър, барицентър, стимулатор и съвпадащ циркуляр

Тъй като височината, медианата, бисектрисата и бисектрисата по отношение на основата, са представени едновременно от един и същ сегмент, ортоцентърът, центърът барицентър и циркумцентърът ще бъдат колинеарни точки, тоест те ще бъдат на една и съща линия:

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на многоъгълник се изчислява чрез добавяне на страните.

Тъй като в този случай равнобедреният триъгълник има две страни с една и съща мярка, периметърът му се изчислява със следната формула:

P = 2 _* (страна a) + (страна b).

Как да изчислим височината?

Височината е линията, перпендикулярна на основата, тя разделя триъгълника на две равни части, докато се простира до противоположния връх.

Височината представлява противоположния крак (a), средата на основата (b / 2) прилежащия крак, а страницата "a" представлява хипотенузата.

Използвайки теоремата на Питагор, стойността на височината може да бъде определена:

a ² + b ² = c ²

Където:

a ² = височина (h).

b ² = b / 2.

c ² = страна a.

Замествайки тези стойности в теоремата на Питагор и решавайки височината, имаме:

h ² + (b / 2) ² = a ²

ч ² + б ² / R4 = а ²

ч ² = а ² - б ² /4

Н = √ (а ² - б ² /4).

Ако ъгълът, образуван от конгруентните страни, е известен, височината може да се изчисли по следната формула:

Как да се изчисли площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по една и съща формула, като се умножава основата по височина и се разделя на две:

Има случаи, когато са известни само измерванията на две страни на триъгълника и ъгъла, образуван между тях. В този случай, за да се определи площта, е необходимо да се приложат тригонометричните съотношения:

Как да изчислим основата на триъгълника?

Тъй като равнобедреният триъгълник има две равни страни, за да определите стойността на неговата основа, трябва да знаете поне мярката на височината или един от нейните ъгли.

Като знаем височината, се използва теорията на Питагора:

a ² + b ² = c ²

Където:

a ² = височина (h).

c ² = страна a.

b ² = b / 2, е неизвестно.

Изолираме b ² от формулата и имаме:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Тъй като тази стойност съответства на половината от основата, тя трябва да бъде умножена по две, за да се получи пълната мярка на основата на равнобедрения триъгълник:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

В случай, че са известни само стойността на неговите равни страни и ъгълът между тях, се прилага тригонометрия, като се изчертава линия от върха до основата, която разделя равнобедрения триъгълник на два десни триъгълника.

По този начин половината от базата се изчислява с:

Възможно е също така да са известни само стойността на височината и ъгъла на върха, които са срещу основата. В този случай чрез тригонометрия основата може да бъде определена:

Упражнения

Първо упражнение

Намерете площта на равнобедрения триъгълник ABC, като знаете, че две от страните му са 10 cm, а третата страна е 12 cm.

Решение

За да се намери площта на триъгълника, е необходимо да се изчисли височината, като се използва формулата на площта, която е свързана с теоремата на Питагор, тъй като стойността на ъгъла, образуван между равни страни, не е известна.

Имаме следните данни за равнобедрения триъгълник:

• Равни страни (a) = 10 cm.
• Основа (b) = 12 cm.

Стойностите се заместват във формулата:

Второ упражнение

Дължината на двете равни страни на равнобедрен триъгълник е 42 cm, съединението на тези страни образува ъгъл 130 ^или. Определете стойността на третата страна, площта на този триъгълник и периметъра.

Решение

В този случай са известни измерванията на страните и ъгъла между тях.

За да знаете стойността на липсващата страна, тоест основата на този триъгълник, към нея се начертава перпендикулярна линия, разделяща ъгъла на две равни части, по една за всеки десен триъгълник, който се образува.

• Равни страни (a) = 42 cm.
• Ъгъл (Ɵ) = 130 ^o

Сега чрез тригонометрия се изчислява стойността на половината от основата, която съответства на половината от хипотенузата:

За да се изчисли площта, е необходимо да се знае височината на този триъгълник, която може да бъде изчислена чрез тригонометрия или по теорията на Питагор, сега, когато стойността на основата вече е определена.

По тригонометрия ще бъде:

Периметърът се изчислява:

P = 2 _* (страна a) + (страна b).

P = 2 _* (42 см) + (76 см)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Трето упражнение

Изчислете вътрешните ъгли на равнобедрения триъгълник, като знаете, че ъгълът на основата е Â = 55 ^или

Решение

За да намерите двата липсващи ъгъла (Ê и Ô), е необходимо да запомните две свойства на триъгълници:

• Сумата от вътрешните ъгли на всеки триъгълник винаги ще бъде = 180 ^или:

 + Ê + Ô = 180 ^или

• В равнобедрен триъгълник ъглите на основата винаги са конгруентни, тоест имат една и съща мярка, следователно:

 = Ô

Ê = 55 ^или

За да определим стойността на ъгъла Ê, заместваме стойностите на другите ъгли в първото правило и решаваме за Ê:

55 ^или + 55 ^или + Ô = 180 ^или

110 ^или + Ô = 180 ^или

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Препратки

1. Алварес, Е. (2003). Елементи на геометрията: с многобройни упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
2. Алваро Редон, AR (2004). Техническа рисунка: тетрадка за дейности.
3. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education.
4. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
5. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
6. Хосе Хименес, LJ (2006). Математика 2.
7. Tuma, J. (1998). Наръчник по инженерна математика. Wolfram MathWorld.