ТРИЪГЪЛНИЦИ: ИСТОРИЯ, ЕЛЕМЕНТИ, КЛАСИФИКАЦИЯ, СВОЙСТВА - НАУКА - 2025

На триъгълници са плоски и затворени геометрични фигури, състояща се от три страни. Триъгълник се определя от три линии, които се пресичат две по две, образувайки три ъгъла един с друг. Триъгълната форма, пълна със символика, присъства в безброй предмети и като елемент на конструкцията.

Произходът на триъгълника се губи в историята. От археологическите доказателства е известно, че първобитното човечество го е познавало добре, тъй като археологическите останки потвърждават, че е използван в инструменти и оръжия.

Фигура 1. Триъгълници. Източник: Publicdomainpictures.

Видно е също, че древните египтяни са притежавали солидни познания по геометрия и по-специално за триъгълната форма. Те бяха отразени в архитектурните елементи на монументалните му сгради.

В папируса на Rhind са формули за изчисляване на площи на триъгълници и трапеции, както и някои обеми и други понятия за рудиментарна тригонометрия.

От своя страна е известно, че вавилонците са били в състояние да изчислят площта на триъгълника и други геометрични фигури, които са използвали за практически цели, като земни деления. Те също така знаеха много свойства на триъгълниците.

Древните гърци обаче систематизираха много от разпространените днес геометрични понятия, въпреки че голяма част от тези знания не бяха изключителни, тъй като със сигурност бяха споделени с тези други древни цивилизации.

Триъгълни елементи

Елементите на всеки триъгълник са посочени на следната фигура. Има три: върхове, страни и ъгли.

Фигура 2. Обозначение на триъгълници и техните елементи. Източник: Wikimedia Commons, модифициран от F. Zapata

-Vertices: са точките на пресичане на линиите, чиито сегменти определят триъгълника. На фигурата по-горе например линията L _AC, която съдържа сегмента AC, пресича линията L _AB, която съдържа сегмента AB точно в точка A.

- Страни: между всяка двойка върхове се начертава линеен сегмент, който представлява едната страна на триъгълника. Този сегмент може да бъде обозначен с крайните букви или с помощта на определена буква, за да го извикате. В примера от фигура 2, страничната AB също се нарича "с".

- ъгли: между всяка страна с общ връх възниква ъгъл, чийто връх съвпада с този на триъгълника. Обикновено ъгълът се обозначава с гръцка буква, както е посочено в началото.

За да изградите определен триъгълник с дадена форма и размер, трябва само да имате един от следните набори от данни:

-Трите страни, доста очевидни в случай на триъгълник.

-Две страни и ъгълът между тях, и веднага се изтегля останалата страна.

-Две (вътрешни) ъгли и страната между тях. Чрез удължаване двете липсващи страни са изтеглени и триъгълникът е готов.

нотация

Обикновено в триъгълна нотация се използват следните условности: върховете са обозначени с главни букви в латиница, а страните с малки букви в латиница, а ъглите - с гръцки букви (вижте фигура 2).

По този начин триъгълникът е кръстен според неговите върхове. Например триъгълникът отляво на фигура 2 е триъгълник ABC, а този отдясно е триъгълник A'B'C '.

Възможно е да се използват и други обозначения; например ъгълът α на фигура 2 се обозначава като BAC. Обърнете внимание, че буквата на върха върви по средата и буквите са написани в посока, обратна на часовниковата стрелка.

Друг път се използва карета за обозначаване на ъгъла:

α = ∠A

Видове триъгълници

Има няколко критерия за класифициране на триъгълници. Най-обичайното е да ги класифицирате според мярката на техните страни или според мярката на техните ъгли. В зависимост от мярката на техните страни, триъгълниците могат да бъдат: скали, равнобедрени или равностранни:

-Скалено: трите му страни са различни.

-Isósceles: има две равни страни и една различна страна.

-Equilátero: трите страни са равни.

Фигура 3. Класификация на триъгълници по техните страни. Източник: Ф. Сапата

Според мярката на техните ъгли триъгълниците са наречени така:

- Препятствие, ако един от вътрешните ъгли е по-голям от 90 °.

- Остър ъгъл, когато трите вътрешни ъгъла на триъгълника са остри, тоест по-малки от 90 °

- правоъгълник, в случай че един от неговите вътрешни ъгли е на стойност 90 °. Страните, които образуват 90º, се наричат ​​крака, а страната срещу правия ъгъл е хипотенузата.

Фигура 4. Класификация на триъгълници по техните вътрешни ъгли. Източник: Ф. Сапата.

Съгласуване на триъгълници

Когато два триъгълника имат еднаква форма и са с еднакъв размер, се казва, че са конгруентни. Разбира се, конгруенцията е свързана с равенството, така че защо геометрията говори за „два конгруентни триъгълника“, а не за „два равни триъгълника“?

Е, за предпочитане е да се използва терминът "конгруенция", за да се придържаме към истината, тъй като два триъгълника могат да имат еднаква форма и размер, но да бъдат ориентирани различно в равнината (виж фигура 3). От гледна точка на геометрията, те вече не биха били абсолютно еднакви.

Фигура 5. Конгрунтни триъгълници, но не непременно равни, тъй като ориентацията им в равнината е различна. Източник: Ф. Сапата.

Критерии за конгруенция

Два триъгълника са съвместими, ако се появи някое от следните:

-Трите страни измерват едно и също (отново това е най-очевидното).

-Имат две еднакви страни и с еднакъв ъгъл между тях.

-Имайте два еднакви вътрешни ъгъла и страната между тези ъгли измерва еднакви.

Както се вижда, става въпрос за двата триъгълника, които отговарят на необходимите условия, така че когато са изградени, формата и размерите им са абсолютно еднакви.

Критериите за конгруентност са много полезни, тъй като на практика безброй парчета и механични части трябва да се произвеждат последователно, така че техните измервания и форма да са абсолютно еднакви.

Сходство на триъгълници

Триъгълник е подобен на друг, ако имат същата форма, дори ако са с различни размери. За да се гарантира, че формата е една и съща, е необходимо вътрешните ъгли да имат еднаква стойност и страните да са пропорционални.

Фигура 6. Два подобни триъгълника: размерите им се различават, но пропорциите им са еднакви. Източник: Ф. Сапата.

Триъгълниците на фигура 2 също са сходни, както и тези на фигура 6. По този начин:

Що се отнася до страните, важат следните съотношения на сходство:

Имоти

Основните свойства на триъгълниците са следните:

-Сборът от вътрешните ъгли на всеки триъгълник винаги е 180º.

-За всеки триъгълник сумата на неговите външни ъгли е равна на 360 °.

- Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на посочения ъгъл.

теореми

Първа теорема на Талес

Те се приписват на гръцкия философ и математик Талес от Милет, който е разработил няколко теореми, свързани с геометрията. Първият от тях посочва следното:

Фигура 7. Теорема на Талес. Източник: Ф. Сапата.

С други думи:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Първата теорема на Талес е приложима към триъгълник, например имаме синия триъгълник ABC вляво, който е отрязан от червените паралели вдясно:

Фигура 8. Теорема на Талес и подобни триъгълници.

Виолетовият триъгълник AB'C 'е подобен на синия триъгълник ABC, поради което според теоремата на Талес може да се запише следното:

AB´ / AC´ = AB / AC

И това е в съответствие с обясненото по-рано в сегмента на приликата на триъгълници. Между другото, паралелните линии също могат да бъдат вертикални или успоредни на хипотенузата и подобни триъгълници се получават по същия начин.

Втората теорема на Талес

Тази теорема също се отнася до триъгълник и кръг с център O, като тези, показани по-долу. На тази фигура AC е диаметър на обиколката и B е точка върху нея, B е различна от A и B.

Втората теорема на Талес гласи, че:

Фигура 9. Втората теорема на Талес. Източник: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Питагоровата теорема

Това е една от най-известните теореми в историята. Дължи се на гръцкия математик Питагор от Самос (569 - 475 г. пр. Н. Е.) И е приложим за десен триъгълник. Казва така:

Ако вземем за пример синия триъгълник на фигура 8 или лилавия триъгълник, тъй като и двете са правоъгълници, тогава може да се заяви, че:

AC ² = AB ² + BC ² (син триъгълник)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (лилав триъгълник)

Площта на триъгълник

Площта на триъгълника се дава от произведението на неговата основа a и височината му h, разделена на 2. И чрез тригонометрията тази височина може да бъде записана като h = b sinθ.

Фигура 10. Площ на триъгълника. Източник: Wikimedia Commons.

Примери за триъгълници

Пример 1

Говори се, че с помощта на първата си теорема Талес успял да измери височината на Голямата пирамида в Египет, едно от 7-те чудеса на древния свят, чрез измерване на сянката, която тя прожектира на земята и която се проектира от кол, забит в земята.

Това е очертанието на процедурата, последвана от Tales:

Фигура 11. Схема за измерване на височината на Голямата пирамида чрез сходство на триъгълници. Източник: Wikimedia Commons. Dake

Талес правилно предположи, че слънчевите лъчи удрят паралелно. Имайки това предвид, той си представи големия десен триъгълник вдясно.

Там D е височината на пирамидата и С е разстоянието над земята, измерено от центъра до сянката, хвърлена от пирамидата на пустинния под. Измерването на C може да е трудоемко, но със сигурност е по-лесно от измерването на височината на пирамидата.

Отляво е малкият триъгълник с крака A и B, където A е височината на клада, задвижван вертикално в земята, а B е сянката, която хвърля. И двете дължини са измерими, както и С (С е равна на дължината на сянката + половината от дължината на пирамидата).

И така, по подобие на триъгълници:

A / B = D / C

А височината на Голямата пирамида се оказва: D = C. (A / B)

Пример 2

Стълбовете в гражданското строителство са конструкции, изработени от тънки прави пръти от дърво или метал с кръстосани кръстове, които се използват като опора в много сгради. Те са известни също като ферми, ферми или ферми.

В тях триъгълниците винаги присъстват, тъй като прътите са свързани помежду си в точки, наречени възли, които могат да бъдат фиксирани или артикулирани.

Фигура 12. Триъгълникът присъства в рамката на този мост. Източник: PxHere.

Пример 3

Методът, известен като триангулация, позволява да се получи местоположението на недостъпни точки, като се знаят други разстояния, които са по-лесни за измерване, при условие че се образува триъгълник, който включва желаното място между върховете му.

Например на следната фигура искаме да разберем къде е корабът в морето, обозначен като B.

Фигура 13. Триангулационна схема за локализиране на кораба. Източник: Wikimedia Commons. Colette

Първо се измерва разстоянието между две точки на брега, които на фигурата са A и C. След това трябва да се определят ъглите α и β, като се използва теодолит, устройство, използвано за измерване на вертикални и хоризонтални ъгли.

С цялата тази информация е изграден триъгълник, в чиято горна върха е корабът. Остава да се изчисли ъгълът γ, като се използват свойствата на триъгълниците и разстоянията AB и CB, използвайки тригонометрия, за да се определи положението на кораба в морето.

Упражнения

Упражнение 1

На показаната фигура слънчевите лъчи са успоредни. По този начин 5-метровото дърво хвърля 6 метра сянка на земята. В същото време сянката на сградата е 40 метра. Следвайки първата теорема на Талес, намерете височината на сградата.

Фигура 14. Схема за разрешеното упражнение 1. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Червеният триъгълник има страни съответно 5 и 6 метра, докато синият има височина Н - височината на сградата - и основа 40 метра. И двата триъгълника са сходни, следователно:

Упражнение 2

Трябва да знаете хоризонталното разстояние между две точки А и В, но те са разположени на много неравна основа.

Приблизително в средната точка (P _m) на споменатия терен се откроява известност с височина 1,75 метра. Ако измервателната лента показва 26 метра дължина, измерена от A до известността, и 27 метра от B до същата точка, намерете разстоянието AB.

Фигура 15. Схема за разрешеното упражнение 2. Източник: Jiménez, R. Mathematics II. Геометрия и тригонометрия.

Решение

Питагоровата теорема се прилага към един от двата десни триъгълника на фигурата. Започвайки с тази отляво:

Хипотенуза = c = 26 метра

Височина = a = 1,75 метра

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Сега приложете Питагор в триъгълника вдясно, този път c = 27 метра, a = 1,75 метра. С тези стойности:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Разстоянието AB се намира чрез добавяне на тези резултати:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Препратки

1. Балдор, JA 1973. Самолетна и космическа геометрия. Централноамериканска културна.
2. Баредо, Д. Геометрията на триъгълника. Възстановено от: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Математика II. Геометрия и тригонометрия. Второ издание. Пиърсън.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Възстановено от: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Триъгълник. Възстановени от: es. wikipedia.org.