ВЕКТОР: ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА, ЕЛЕМЕНТИ, ВИДОВЕ, ПРИМЕРИ - НАУКА - 2025

На вектори са математически лица, които са обикновено придружават от измерване единица -positiva- големина и посока добре. Такива характеристики са много подходящи за описание на физически величини като скорост, сила, ускорение и много други.

С вектори е възможно да се извършват операции като събиране, изваждане и продукти. Разделянето не е дефинирано за векторите, а що се отнася до продукта, има три класа, които ще опишем по-нататък: точков продукт или точка, векторен продукт или кръст и продукт на скалар от вектор.

Фигура 1. Елементите на вектор. Източник: Wikimedia Commons.

За пълно описание на вектор трябва да се посочат всички негови характеристики. Величината или модулът е числова стойност, придружена от единица, докато посоката и смисълът се установяват с помощта на координатна система.

Нека да разгледаме пример: да предположим, че самолет лети от един град в друг със скорост 850 км / ч в посока СЕ. Тук имаме напълно определен вектор, тъй като магнитудът е наличен: 850 км / ч, докато посоката и усещането са НЕ.

Векторите обикновено са представени графично чрез ориентирани сегментни линии, чиято дължина е пропорционална на величината.

Въпреки че за да се посочи посоката и смисъла, е необходима референтна линия, която обикновено е хоризонталната ос, въпреки че северът също може да се приеме за ориентир, такъв е случаят със скоростта на равнината:

Фигура 2. Вектор на скоростта. Източник: Ф. Сапата.

Фигурата показва скоростта на вектора на равнината, обозначена като v с удебелен шрифт, за да се разграничи от скаларно количество, което изисква само числова стойност и някаква единица, за да се посочи.

Елементи на вектор

Както казахме, елементите на вектора са:

- Величина или модул, понякога наричан също абсолютна стойност или норма на вектора.

имат за предмет

-Sense

В примера на фигура 2, модулът на v е 850 km / h. Модулът се обозначава като v без удебелен шрифт, или като - v -, където баровете представляват абсолютната стойност.

Посоката на v е определена спрямо север. В този случай е на 45 ° северно от Изток (45 ° с.ш.). Накрая върхът на стрелката информира за смисъла на v.

В този пример произходът на вектора е изготвен, съвпадащ с произхода O на координатната система, това е известно като свързан вектор. От друга страна, ако произходът на вектора не съвпада с този на референтната система, се казва, че е свободен вектор.

Трябва да се отбележи, че за пълното уточняване на вектора трябва да се отбележат тези три елемента, в противен случай описанието на вектора би било непълно.

Правоъгълни компоненти на вектор

Фигура 3. Правоъгълни компоненти на вектор в равнината. Източник: Wikimedia Commons. uranther

В образа имаме обратно нашия примерен вектор v, който е в равнината xy.

Лесно е да се види, че проекциите на v върху координатните оси x и y определят десен триъгълник. Тези проекции са v _{y и} v _x и се наричат ​​правоъгълни компоненти на v.

Един от начините за обозначаване на v с правоъгълните му компоненти е следният: v =x, v _и >. Тези скоби се използват вместо скоби, за да се подчертае факта, че това е вектор, а не период, тъй като в този случай ще бъдат използвани скоби.

Ако векторът е в триизмерно пространство, е необходим още един компонент, така че:

v =x, v _y, v _z >

Познаването на правоъгълни компоненти се изчислява степента на вектора, еквивалентни на намиране на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, чийто крака са V _х и V _{и ,.} Посредством Питагоровата теорема следва, че:

Полярна форма на вектор

Когато величината на вектора - v - и ъгълът θ, който прави с референтната ос, обикновено хоризонталната ос, са известни, векторът също се уточнява. След това се казва, че векторът се изразява в полярна форма.

Правоъгълните компоненти в този случай лесно се изчисляват:

Според горното правоъгълните компоненти на вектора на скоростта v на равнината биха били:

Видове

Има няколко вида вектори. Има вектори на скорост, положение, изместване, сила, електрическо поле, импулс и много други. Както вече казахме, във физиката има голям брой векторни количества.

По отношение на векторите, които имат определени характеристики, можем да споменем следните видове вектори:

-Нул: това са вектори, чиято величина е 0 и които се означават като 0. Не забравяйте, че удебелената буква символизира трите основни характеристики на вектор, докато нормалната буква представлява само модула.

Например върху тяло в статично равновесие сумата на силите трябва да е нулев вектор.

- Безплатни и свързани: свободни вектори са тези, чиито точки на възникване и пристигане са всяка двойка точки в равнината или пространството, за разлика от свързаните вектори, чийто произход съвпада с този на референтната система, използвана за тяхното описание.

Двойката или моментът, произведени от няколко сили, са добър пример за свободен вектор, тъй като двойката не се прилага към определена точка.

- Equipolentes: те са два свободни вектора, които споделят идентични характеристики. Следователно те имат еднаква величина, посока и усет.

- Coplanar или coplanar: вектори, които принадлежат на една и съща равнина.

- Противоположности: вектори със същата величина и посока, но с противоположни посоки. Векторът, противоположен на вектор v, е вектор - v, а сумата от двете е нулевият вектор: v + (- v) = 0.

- Едновременно: вектори, чиито линии на действие преминават през една и съща точка.

- Плъзгачи: са тези вектори, чиято точка на приложение може да се плъзга по определена линия.

- Collinear: вектори, които са разположени на една и съща линия.

- Единни: онези вектори, чийто модул е ​​1.

Ортогонални единици вектори

Във физиката има много полезен тип вектор, наречен ортогонален единичен вектор. Ортогоналният единичен вектор има модул равен на 1 и единиците могат да бъдат всякакви, например скорости, положение, сила или други.

Съществува набор от специални вектори, които помагат лесно да се представят други вектори и да се извършват операции с тях: те са ортогонални единици вектори i, j и k, единица и перпендикулярни един на друг.

В две измерения тези вектори са насочени по положителната посока както на оста x, така и на y. И в три измерения се добавя единичен вектор в посоката на положителната z ос. Те са представени, както следва:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Вектор може да бъде представен от единичните вектори i, j и k, както следва:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Например, векторът на скоростта v в предишните примери може да бъде записан като:

v = 601.04 i + 601.04 j km / h

Компонентът в k не е необходим, тъй като този вектор е в равнината.

Векторно допълнение

Сумата от вектори се появява много често в различни ситуации, например когато искате да намерите резултиращата сила върху обект, който е засегнат от различни сили. За начало, да предположим, че имаме два свободни вектора u и v на равнината, както е показано на следната фигура вляво:

Фигура 4. Графична сума на два вектора. Източник: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach.

Веднага се прехвърля внимателно към вектора v, без да променя неговата величина, посока или смисъл, така че неговият произход да съвпада с края на u.

Сумата на вектора се нарича w и се изтегля, като започва от u, завършваща на v, според правилната фигура. Важно е да се отбележи, че величината на вектора w не е непременно сумата от величините на v и u.

Ако мислите за това внимателно, единственият път, когато величината на получения вектор е сборът от величините на добавките, е когато двете добавки са в една и съща посока и имат същия смисъл.

И какво се случва, ако векторите не са безплатни? Освен това е много лесно да ги добавите. Начинът да го направите е чрез добавяне на компонент към компонент или аналитичен метод.

Като пример, нека разгледаме векторите на следната фигура, първото нещо е да ги изразим по един от декартовите начини, обяснени по-рано:

Фигура 5. Сума от два свързани вектора. Източник: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

За да получите x-компонента на сумата вектор w, добавете съответните x-компоненти на v и u: w _x = 5 + 2 = 7. И за да се получи w _{y се} следва аналогична процедура: w _y = 1 + 3. По този начин:

u = <7.4>

Свойства на векторното добавяне

Сумата от два или повече вектора води до друг вектор.

-Това е комутативно, редът на добавките не променя сумата по такъв начин, че:

u + v = v + u

- Неутралният елемент на сумата от вектори е нулевият вектор: v + 0 = v

- изваждането на два вектора се определя като сумата от обратното: v - u = v + (-u)

Векторни примери

Както казахме, във физиката има многобройни векторни количества. Сред най-известните са:

-положение

-Displacement

-Средна скорост и моментална скорост

-Acceleration

-Force

-Размер на движение

-Торк или момент на сила

-Impulse

-Електрическо поле

-Магнитно поле

-Магнетичен момент

От друга страна, те не са вектори, а скалари:

-Метеорологично време

маса, между

Температурна

-Сила на звука

Плътност

-Механична работа

-Енергия

-Hot

-Power

-Волтаж

-Електрически ток

Други операции между векторите

В допълнение към събирането и изваждането на векторите, има още три много важни операции между векторите, защото те пораждат нови много важни физични величини:

-Продукт на скалар от вектор.

-Точковият продукт или точков продукт между векторите

-И кръстосания или векторния продукт между два вектора.

Продукт на скалар и вектор

Помислете за втория закон на Нютон, който гласи, че силата F и ускорението a са пропорционални. Константата на пропорционалност е масата m на обекта, следователно:

F = m. да се

Масата е скалар; от своя страна, силата и ускорението са вектори. Тъй като силата се получава чрез умножаване на масата чрез ускорение, тя е резултат от произведението на скалар и вектор.

Този тип продукти винаги водят до вектор. Ето още един пример: количеството движение. Нека P е вектор на импулса, v вектор на скоростта и, както винаги, m е масата:

P = m. V

Точков продукт или точков продукт между векторите

Поставихме механичната работа в списъка на количествата, които не са вектори. Работата във физиката обаче е резултат от операция между вектори, наречени скаларен продукт, вътрешен продукт или точков продукт.

Нека векторите v и u дефинират точка или скаларен продукт между тях като:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Къде θ е ъгълът между двете. От показаното уравнение веднага следва, че резултатът от точков продукт е скаларен и също така, че ако и двата вектора са перпендикулярни, точковият им продукт е 0.

Обратно към механичната работа W, това е скаларното произведение между вектора на силата F и вектора на изместване ℓ.

Когато векторите са налични по отношение на техните компоненти, точковият продукт също е много лесен за изчисляване. Ако v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, точков продукт между двете е:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Точният продукт между векторите е комутативен, следователно:

v ∙ u = u ∙ v

Пресечен продукт или векторен продукт между векторите

Ако v и u са нашите два примерни вектора, ние определяме векторния продукт като:

v x u = w

Веднага следва, че кръстосаният продукт води до вектор, чийто модул е ​​определен като:

Където θ е ъгълът между векторите.

Кръстосаният продукт не е комутативен, следователно v x u ≠ u x v. Всъщност v x u = - (u x v).

Ако двата примерни вектора са изразени като единични вектори, изчисляването на векторния продукт се улеснява:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Пресечете продукти между единични вектори

Кръстосаният продукт между идентични единични вектори е нулев, тъй като ъгълът между тях е 0º. Но между различните единични вектори ъгълът между тях е 90º и sin 90º = 1.

Следващата диаграма помага да намерите тези продукти. В посока на стрелката има положителна посока, а в обратна посока отрицателна:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Прилагайки свойството на разпределение, което все още е валидно за продуктите между векторите плюс свойствата на единичните вектори, имаме:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Решени упражнения

- Упражнение 1

Предвид векторите:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Какъв трябва да бъде векторът w, за да бъде сумата v + u + w, равна на 6 i +8 j -10 k ?

Решение

Следователно трябва да се изпълни, че:

Отговорът е: w = 9 i +7 j - 18 k

- Упражнение 2

Какъв е ъгълът между векторите v и u във упражнение 1?

Решение

Ще използваме точков продукт. От дефиницията имаме:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Замяна на тези стойности:

Препратки

1. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Физика: Принципи на приложение. 6-ти. Ед Прентис Хол.
3. Рекс, А. 2011. Основи на физиката. Пиърсън.
4. Сиърс, Земански. 2016. Университетска физика със съвременна физика. 14-ти. Изд. Том 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Том 1. 7-ми. Ed. Cengage Learning.