- Как да стигнем нормалния вектор до равнина?
- Нормалният вектор от векторния продукт
- пример
- Решение
- Изчисляване на векторния продукт
- Уравнение на равнината
- Препратки
В нормален вектор е този, който определя посоката, перпендикулярна на някои геометрична лице под внимание, което може да бъде от крива, самолет или повърхностно, например.
Това е много полезна концепция при позиционирането на движеща се частица или някаква повърхност в пространството. В следващата графика е възможно да се види какъв е нормалният вектор на произволна крива C:
Фигура 1. Крива С с вектора, нормален спрямо кривата в точка П. Източник: Svjo
Помислете точка P на кривата C. Точката може да представлява движеща се частица, която се движи по път с форма на С. Допирателната линия към кривата в точка P е очертана в червено.
Обърнете внимание, че вектор Т е допирателен към С във всяка точка, докато вектор N е перпендикулярен на T и сочи към центъра на въображаем кръг, чиято дъга е сегмент от C. Векторите са обозначени с удебелен шрифт в печатен текст, за разграничете ги от други не-векторни количества.
Векторът T винаги показва къде се движи частицата, следователно той показва скоростта на частицата. От друга страна, векторът N винаги сочи в посоката, в която частицата се върти, по този начин той показва вдлъбнатината на кривата C.
Как да стигнем нормалния вектор до равнина?
Нормалният вектор не е непременно единичен вектор, тоест вектор, чийто модул е 1, но ако е така, той се нарича нормален единичен вектор.
Фигура 2. Отляво равнина P и двата вектора, нормални за тази равнина. Вдясно единичните вектори в трите посоки, които определят пространството. Източник: Wikimedia Commons. Вижте страницата за автор
В много приложения е необходимо да се знае векторът нормален спрямо равнина, а не крива. Този вектор разкрива ориентацията на споменатата равнина в пространството. Например, помислете за равнината P (жълта) на фигурата:
Към тази равнина има два нормални вектора: n 1 и n 2. Използването на една или друга зависи от контекста, в който се намира споменатата равнина. Получаването на нормалния вектор на равнина е много просто, ако уравнението на равнината е известно:
Тук векторът N се изразява по отношение на перпендикулярните единични вектори i, j и k, насочени по трите посоки, които определят ксизовото пространство, вижте фигура 2 вдясно.
Нормалният вектор от векторния продукт
Много проста процедура за намиране на нормалния вектор използва свойствата на векторния продукт между два вектора.
Както е известно, три различни точки, които не са колинеарни една с друга, определят равнина P. Сега е възможно да се получат два вектора u и v, които принадлежат на споменатата равнина, имаща тези три точки.
След като се получат векторите, векторният продукт u x v е операция, чийто резултат от своя страна е вектор, който има свойството да е перпендикулярен на равнината, определена от u и v.
Известен този вектор, той се обозначава като N и от него ще бъде възможно да се определи уравнението на равнината благодарение на уравнението, посочено в предходния раздел:
N = u x v
Следващата фигура илюстрира описаната процедура:
Фигура 3. С два вектора и техния векторен продукт или кръст се определя уравнението на равнината, която съдържа двата вектора. Източник: Wikimedia Commons. Не е предоставен машинно четим автор. М. Ромеро Шмидке предположи (въз основа на претенции за авторски права).
пример
Намерете уравнението на равнината, определено от точките A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).
Решение
Това упражнение илюстрира описаната по-горе процедура. Като има 3 точки, един от тях се избира като общ произход на два вектора, които принадлежат на равнината, дефинирана от тези точки. Например, точка А е зададена като начало и векторите AB и AC са конструирани.
Вектор AB е векторът, чието начало е точка A и чиято крайна точка е точка B. Координатите на вектор AB се определят, като съответно се извадят координатите на B от координатите на A:
Продължаваме по същия начин, за да намерим вектора AC:
Изчисляване на векторния продукт
Има няколко процедури за намиране на кръстосания продукт между два вектора. Този пример използва мнемонична процедура, която използва следната фигура, за да намери векторните продукти между единичните вектори i, j и k:
Фигура 4. Графика за определяне на векторния продукт между единичните вектори. Източник: самостоятелно направен.
За начало е добре да запомните, че векторните продукти между паралелни вектори са нулеви, следователно:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
И тъй като векторният продукт е друг вектор, перпендикулярен на участващите вектори, движещи се в посока на червената стрелка, ние имаме:
Ако трябва да се придвижите в обратна посока на стрелката, добавете знак (-):
Общо е възможно да се направят 9 векторни продукта с единичните вектори i, j и k, от които 3 ще бъдат нулеви.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Уравнение на равнината
Векторът N се определя от изчисления преди това вектор:
N = 2 i -8 j -2 k
Следователно a = 2, b = -8, c = -2, търсената равнина е:
Стойността на d остава да бъде определена. Това е лесно, ако стойностите на която и да е от точките A, B или C, които са на разположение, са заместени в уравнението на равнината. Избор на C например:
x = 4; y = 2; z = 1
останки:
Накратко, търсената карта е:
Любознателният читател може да се запита дали би се получил същия резултат, ако вместо AB x AC беше избрано да направи AC x AB. Отговорът е да, равнината, определена от тези три точки, е уникална и има два нормални вектора, както е показано на фигура 2.
Що се отнася до точката, избрана като произход на векторите, няма проблем при избора на някой от другите два.
Препратки
- Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB). 31- 62.
- Намиране на нормалното в равнина. Възстановено от: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Изчисляване и аналитична геометрия. Mc Graw Hill. 616-647.
- Линии и равнини в R 3. Възстановени от: math.harvard.edu.
- Нормален вектор. Възстановени от mathworld.wolfram.com.