ЕДНОВРЕМЕННИ ВЕКТОРИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На едновременни вектори са вектори групи, чиито оси съвпадат в една точка, образувайки между всяка двойка от вътрешната и външната друг ъгъл. Ясен пример се вижда на фигурата по-долу, където A, B и C са вектори, паралелни един с друг.

D и E за разлика от останалите не са. Между паралелните вектори AB, AC и CB се образуват ъгли. Те се наричат ​​отношения ъгли между векторите.

характеристики

-Те имат обща точка, която съвпада с техния произход: всички величини на едновременните вектори започват от обща точка до съответните им краища.

-Произходът се счита за точката на действие на вектора: трябва да бъде създадена точка на действие, която ще бъде пряко засегната от всеки от едновременните вектори.

Подготвя нейното домейн в равнината и пространството е R ² и R ³ съответно: паралелното вектори са свободни да покрие цялата геометрична пространство.

-Позволява различни обозначения в една и съща група вектори. Според отраслите на изследването в операциите с вектори присъстват различни обозначения.

Видове вектори

Клонът на векторите има множество подразделения, като някои от тях могат да бъдат назовани: успоредни, перпендикулярни, копланарни, съответстващи, противоположни и унитарни. Едновременните вектори са изброени тук и като всички посочени по-горе, те имат много приложения в различни науки.

Те са много често срещани при изследването на вектори, защото представляват полезно обобщение при операциите с тях. Както в равнината, така и в пространството, паралелните вектори обикновено се използват за представяне на различни елементи и изучаване на тяхното влияние върху определена система.

Векторна нотация

Има няколко начина за представяне на векторен елемент. Основните и най-известните са:

картезианец

Предложен от същия този математически подход, той обозначава векторите с тройка, съответстваща на величините на всяка ос (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Пространство A: (1, 1) равнина

полярен

Те служат само за обозначаване на вектори в равнината, макар че в интегралното смятане е присвоена компонента на дълбочината. Той е съставен с линейна величина r и ъгъл по отношение на полярната ос Ɵ.

A: (3, 45 ⁰) Плоскост A: (2, 45 ⁰, 3) Пространство

аналитичен

Те определят величините на вектора с помощта на версорите. Версорите (i + j + k) представляват единичните вектори, съответстващи на осите X, Y и

A: 3i + 2j - 3k

сферичен

Те са подобни на полярната нотация, но с добавянето на втори ъгъл, обхождащ равнината xy, символизиран от δ.

A: (4, 60 ^или, π / 4)

Едновременни векторни операции

Съпътстващите вектори се използват най-вече за определяне на операциите между векторите, тъй като е по-лесно да се сравняват елементите на векторите, когато те са представени едновременно.

Сума (A + B)

Сумата от едновременни вектори има за цел да намери резултиращия вектор V _r. Което според клона на изследването съответства на окончателно действие

Например: 3 низа {A, B, C} са вързани в поле, всеки край на низа се държи от една тема. Всеки от 3-те предмета трябва да дърпа въжето в различна посока от другите 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Кутията ще може да се движи само в една посока, следователно V _r ще посочи посоката и посоката на движението на кутията.

Разлика (A - B)

Има много критерии относно разликата между векторите, много автори избират да го изключат и заявяват, че е предвидена само сумата между векторите, където разликата е за сумата на противоположния вектор. Истината е, че векторите могат да бъдат извадени алгебрично.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Скаларен продукт (А. Б)

Известен също като точков продукт, той генерира скаларна стойност, която може да бъде свързана с различни величини в зависимост от отрасъла на изследване.

За геометрия посочете площта на паралелограма, образувана от двойката паралелни вектори чрез метода на паралелограма. За механичната физика тя определя работата, извършена от сила F при движение на тяло на разстояние Δr.

ѡ = F. Δr

Както показва името му, той генерира скаларна стойност и се определя както следва:

Нека векторите A и B са

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Аналитична форма:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Къде θ е вътрешният ъгъл между двата вектора

-Алгебраична форма:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Кръстов продукт (A x B)

Продуктът от вектор или точка продукт между два вектора, определя трета вектор С като качеството на е перпендикулярна В и С. Във физиката векторът на въртящия момент τ е основният елемент на въртящата се динамика.

-Аналитична форма:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Алгебраична форма:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Сравнително движение: r _{A / B}

Основата на относителността е относително движение, а едновременните вектори са основата на относителното движение. Относителните позиции, скорости и ускорения могат да бъдат получени, като се използва следният ред идеи.

r _{A / B} = r _A - r _B; Относително положение на А по отношение на Б

v _{A / B} = v _A - v _B; Относителна скорост на А по отношение на В

a _{A / B} = a _A - a _B; Относително ускорение на A по отношение на B

Примери: решени упражнения

Упражнение 1

Нека A, B и C са едновременни вектори.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) С = (-4, -2, 1)

-Определете получения вектор V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Определете точковия продукт (A. C)

(А. С) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(А. С) = 3

-Изчислете ъгъла между A и C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ където θ е най-късият ъгъл между векторите

θ = 88,63 ⁰

-Намерете вектор, перпендикулярен на А и В

За това е необходимо да се определи векторният продукт между (-1, 3, 5) и (3, 5, -2). Както беше обяснено по-горе, 3 x 3 матрица е конструирана, където първият ред е съставен от векторите на тройната единица (i, j, k). Тогава 2-рият и 3-тият ред са съставени от векторите за работа, спазвайки оперативния ред.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Упражнение 2

Нека V _a и V _{b са} векторите на скоростта на A и B съответно. Изчислете скоростта на B, видяна от А.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

В този случай се изисква относителната скорост на B по отношение на A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Това е векторът на скоростта на B, видян от А. Където е описан нов вектор на скоростта на В, като се позовава на наблюдател, разположен на А и се движи със скоростта на А.

Предложени упражнения

1-Конструирайте 3 вектора A, B и C, които са едновременно и свържете 3 операции между тях чрез практическо упражнение.

2-Нека векторите A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) и C: (-2, -1, 10). Намерете вектори, перпендикулярни на: A и B, C и B, сумата A + B + C.

4-Определете 3 вектора, които са перпендикулярни един на друг, без да се вземат предвид координатните оси.

5-Определете работата, извършена от сила, която повдига блок с маса 5 кг, от дъното на кладенец с дълбочина 20 м.

6 - покажете алгебрично, че изваждането на векторите е равно на сумата на противоположния вектор. Обосновете вашите постулати.

7-Обозначава вектор във всички обозначения, разработени в тази статия. (Декартови, полярни, аналитични и сферични).

8-Магнитните сили, упражнявани върху магнит, опиращ се на маса, се дават от следните вектори; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), Н: (-3, 5, -4). Определете в коя посока ще се движи магнитът, ако всички магнитни сили действат едновременно.

Препратки

1. Евклидова геометрия и трансформации. Клейтън У. Додж. Куриерска корпорация, 1 януари 2004
2. Как да решим задачите по приложна математика Л. Moiseiwitsch. Куриерска корпорация, 10 април 2013
3. Основни понятия за геометрия. Валтер Преновиц, Майер Джордан. Rowman & Littlefield, 4 октомври 2012
4. Вектори. Рокио Наваро Лакоба, 7 юни 2014
5. Линейна алгебра. Бернар Колман, Дейвид Р. Хил. Pearson Education, 2006