ОРТОНОРМАЛНА ОСНОВА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2024

Един ортонормирана база е оформен с вектори, перпендикулярни една на друга и чиито модул е 1 (единичен вектор). Нека си спомним, че база В във векторно пространство V се дефинира като набор от линейно независими вектори, способни да генерират споменатото пространство.

От своя страна векторното пространство е абстрактно математическо образувание, сред чиито елементи са вектори, обикновено свързани с физически величини като скорост, сила и изместване или също с матрици, полиноми и функции.

Фигура 1. Ортонормална основа в равнината. Източник: Wikimedia Commons. Quartl.

Векторите имат три отличителни елемента: величина или модул, посока и смисъл. Ортонормалната основа е особено полезна за представяне и опериране с тях, тъй като всеки вектор, който принадлежи към определено векторно пространство V, може да бъде записан като линейна комбинация от вектори, които формират ортонормалната основа.

По този начин операциите между вектори, като събиране, изваждане и различните видове продукти, дефинирани в споменатото пространство, се извършват аналитично.

Сред най-широко използваните бази във физиката е основата, образувана от единичните вектори i, j и k, които представляват трите отличителни посоки на триизмерното пространство: височина, ширина и дълбочина. Тези вектори са известни също като единични канонични вектори.

Ако вместо това векторите работят в равнина, два от тези три компонента биха били достатъчни, докато за едномерните вектори е необходим само един.

Свойства на основите

1- А база В е най-малкият възможен набор от вектори, които генерират векторното пространство V.

2- Елементите на B са линейно независими.

3- Всяка база В на векторно пространство V, позволява да се изразят всички вектори на V като линейна комбинация от него и тази форма е уникална за всеки вектор. Поради тази причина B е известна още като генерираща система.

4- Едно и също векторно пространство V може да има различни бази.

Примери за бази

Ето няколко примера за ортонормални основи и основи като цяло:

Каноничната основа в ℜ

Нарича се също естествена основа или стандартна база на ℜ ⁿ, където ℜ ⁿ е n-измерено пространство, например триизмерното пространство е ℜ ³. Стойността на n се нарича измерение на векторното пространство и се обозначава като dim (V).

Всички вектори, принадлежащи на ℜ ^n, са представени от подредени n-реклами. За пространството ℜ ⁿ каноничната основа е:

e ₁ = <1,0,.,,, 0>; e ₂ = <0,1,.,,, 0>; …….. e _n = <0,0,.,,, 1>

В този пример сме използвали нотацията със скоби или „скоби“ и смели за векторите на единица e ₁, e ₂, e ₃…

Каноничната основа в ℜ

Познатите вектори i, j и k допускат същото представяне и и трите са достатъчни, за да представят векторите в ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Това означава, че базата може да се изрази така:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

За да се потвърди, че те са линейно независими, детерминантата, образувана с тях, е ненулева и също равна на 1:

Трябва също да е възможно всеки вектор, принадлежащ на ℜ ^3, да се запише като линейна комбинация от тях. Например сила, чиито правоъгълни компоненти са F _x = 4 N, F _y = -7 N и F _z = 0 N, ще бъде записана във векторна форма като тази:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Следователно i, j и k съставят генераторна система от ℜ ³.

Други ортонормални основи в ℜ

Стандартната основа, описана в предишния раздел, не е единствената ортонормална основа в ℜ ³. Тук имаме например основите:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Може да се покаже, че тези бази са ортонормални, за това помним условията, които трябва да бъдат изпълнени:

-Векторите, които формират основата, трябва да са ортогонални един към друг.

-Всички от тях трябва да са единни.

Можем да проверим това, като знаем, че детерминантата, образувана от тях, трябва да е не нула и равна на 1.

Основата B ₁ е точно тази на цилиндричните координати ρ, φ и z, друг начин за изразяване на векторите в пространството.

Фигура 2. Цилиндрични координати. Източник: Wikimedia Commons. Математически буф.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Покажете, че основата B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} е ортонормален.

Решение

За да покажем, че векторите са перпендикулярни един на друг, ще използваме скаларния продукт, наричан още вътрешен или точков продукт на два вектора.

Нека всеки два вектора u и v, техният точков продукт се определя от:

u • v = uv cosθ

За да разграничим векторите на техните модули ще използваме удебелени за първата и нормалните букви за втората. θ е ъгълът между u и v, следователно, ако са перпендикулярни, това означава, че θ = 90º, а скаларният продукт е нула.

Като алтернатива, ако векторите са дадени по отношение на техните компоненти: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, скаларното произведение на двете, което е комутативно, се изчислява по този начин:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

По този начин скаларните продукти между всяка двойка вектори са съответно:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

За второто условие се изчислява модулът на всеки вектор, който се получава чрез:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

По този начин модулите на всеки вектор са:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Следователно и трите са единични вектори. И накрая, детерминантът, който образуват, е не нулев и равен на 1:

- Упражнение 2

Напишете координатите на вектора w = <2, 3,1> по отношение на основата по-горе.

Решение

За целта се използва следната теорема:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Това означава, че можем да запишем вектора в базата В, използвайки коефициентите < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, за които трябва да изчислим посочените скаларни продукти:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

С получените скаларни продукти се изгражда матрица, наречена w координатна матрица.

Следователно координатите на вектора w в основата В се изразяват с:

_B =

Координатната матрица не е векторът, тъй като вектор не е същият като неговите координати. Това са само набор от числа, които служат за изразяване на вектора в дадена база, а не векторът като такъв. Те също зависят от избраната база.

Накрая, следвайки теоремата, векторът w ще се изрази по следния начин:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

С: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, тоест векторите на базата В.

Препратки

1. Ларсън, Р. Основи на линейна алгебра. 6-ти. Edition. Учене в Cengage.
2. Ларсън, Р. 2006. Изчисляване. 7-ми. Edition. Том 2. McGraw Hill.
3. Салас, Й. Линейна алгебра. Елемент 10. Ортонормални основи. Възстановени от: ocw.uc3m.es.
4. Университет в Севиля. Цилиндрични координати. Векторна база. Възстановено от: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ортонормална основа. Възстановено от: es.wikipedia.org.