ЦЕНТЪР НА ТЕЖЕСТТА: СВОЙСТВА, ИЗЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В центъра на тежестта на тялото на измерим размер е точката, където се счита, теглото му да се прилага. Следователно това е едно от основните понятия на статиката.

Първият подход в проблемите на елементарната физика се състои в приемането, че всеки обект се държи като точкова маса, тоест няма размери и цялата маса е концентрирана в една точка. Това важи за кутия, кола, планета или субатомна частица. Този модел е известен като модел на частиците.

Фигура 1. При скока на височина спортистът управлява така, че центърът му на тежест да е извън тялото. Източник: Pixabay

Това разбира се е приблизително, което работи много добре за много приложения. Не е лесна задача да се разгледа индивидуалното поведение на хилядите и милиони частици, които всеки обект може да съдържа.

Реалните измерения на нещата обаче трябва да се вземат предвид, за да се получат по-близки до реалността резултати. Тъй като обикновено сме в близост до Земята, непрекъснато присъстващата сила върху всяко тяло е именно теглото.

Съображения за намиране на центъра на тежестта

Ако трябва да се вземе предвид размерът на тялото, къде конкретно трябва да се прилага теглото? Когато имате произволно оформен непрекъснат обект, теглото му е сила, разпределена между всяка от съставните му частици.

Нека тези частици са m ₁, m ₂, m ₃… Всяка една от тях изпитва съответната си гравитационна сила m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, всички те са успоредни. Това е така, тъй като гравитационното поле на Земята се счита за постоянно в по-голямата част от случаите, тъй като обектите са малки в сравнение с размерите на планетата и са близо до нейната повърхност.

Фигура 2. Теглото на обекта е разпределена маса. Източник: самостоятелно направен.

Векторната сума на тези сили води до теглото на обекта, приложено към точката, наречена център на тежестта, обозначена на фигурата като CG, която след това съвпада с центъра на масата. Центърът на масата от своя страна е точката, в която цялата маса може да се счита за концентрирана.

Полученото тегло има магнитуд Mg, където M е общата маса на обекта и, разбира се, е насочена вертикално към центъра на Земята. Обобщената нотация е полезна за изразяване на общата маса на тялото:

Центърът на тежестта не винаги съвпада с материална точка. Например, CG на пръстен е в неговия геометричен център, където няма сама маса. Въпреки това, ако искате да анализирате силите, действащи върху обръч, трябва да приложите тежестта към тази точна точка.

В случаите, в които обектът има произволна форма, ако е хомогенен, центърът му на маса все още може да се изчисли, като се намери центроидът или центърът на тежестта на фигурата.

Как се изчислява центърът на тежестта?

По принцип, ако центърът на тежестта (CG) и центърът на масата (cm) съвпадат, тъй като гравитационното поле е равномерно, тогава cm може да се изчисли и теглото да се приложи върху него.

Нека разгледаме два случая: първият е този, при който масовото разпределение е дискретно; тоест всяка маса, която съставя системата, може да бъде преброена и да й бъде присвоено число i, както беше направено в предишния пример.

Координатите на центъра на масата за дискретно разпределение на масата са:

Естествено сумата от всички маси е равна на общата маса на системата M, както е посочено по-горе.

Трите уравнения се редуцират до компактна форма, когато се разгледа векторът r _cm или векторът на позицията на центъра на масата:

И в случай на непрекъснато разпределение на масата, когато частиците са с различна големина и не могат да бъдат разграничени, за да ги преброят, сумата се заменя с интеграл, който се прави над обема, зает от въпросния обект:

Където r е векторът на положението на диференциална маса dm и дефиницията на плътността на масата е използвана за изразяване на диференциалния маса dm, съдържащ се в диференциалния обем dV:

Имоти

Някои важни съображения относно центъра на масата са следните:

- Въпреки че е необходима референтна система за установяване на позициите, центърът на масата не зависи от избора на системата, тъй като е свойство на обекта.

- Когато обектът има ос или равнина на симетрия, центърът на масата е върху тази ос или равнина. Възползването от това обстоятелство спестява време за изчисление.

- Всички външни сили, действащи върху обекта, могат да бъдат приложени към центъра на масата. Проследяването на движението на тази точка дава преглед на движението на обекта и улеснява изучаването на неговото поведение.

-Определяне центъра на тежестта на тяло в статично равновесие

Да предположим, че искате да накарате тялото на предишната фигура да бъде в статично равновесие, тоест то не превежда и не се върти около произволна ос на въртене, която може да бъде O.

Фигура 3. Схема за изчисляване на въртящия момент на теглото по отношение на точка О.

-Решен пример

Тънка лента от равномерен материал е дълга 6 m и тежи 30 N. Тегло от 50 N е окачено в левия й край, а 20 N тежест в десния му край. Намерете: а) Величината на възходящата сила, необходима за поддържане на баланса на щангата, б) Центърът на тежестта на монтажа.

Решение

Диаграмата на силата е показана на следната фигура. Теглото на щангата се прилага в центъра на тежестта, което съвпада с геометричния му център. Единственото измерение на лентата, взето под внимание, е нейната дължина, тъй като изявлението съобщава, че е тънко.

Фигура 4. Диаграма на силите за щангата.

За да остане системата + тежести в транслационно равновесие, сумата от силите трябва да е нула. Силите са вертикални, ако вземем предвид знак + и надолу със знак - тогава:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Тази сила гарантира транслационния баланс. Отчитане на торсионните моменти на всички сили по отношение на ос, която преминава през крайната лява част на системата и прилагайки определението:

t = rx F

Моментите на всички тези сили около избраната точка са перпендикулярни на равнината на лентата:

По този начин:

Центърът на тежестта на комплекта щанги + тежести е разположен на 2,10 метра от левия край на щангата.

Разлика от центъра на масата

Центърът на тежестта съвпада с центъра на масата, както е посочено, стига гравитационното поле на Земята да е постоянно за всички точки на обекта, който ще се разглежда. Гравитационното поле на Земята не е нищо повече от добре познатата и позната стойност на g = 9,8 m / s ^2, насочена вертикално надолу.

Въпреки че стойността на g варира в зависимост от географската ширина и надморската височина, те обикновено не засягат обектите, които са през повечето време за обсъждане. Ще бъде много по-различно, ако вземете предвид голямо тяло в близост до Земята, например астероид, който е много близо до планетата.

Астероидът има свой собствен център на масата, но неговият център на тежестта вече не би трябвало да съвпада с това, тъй като g вероятно би изпитал значителни изменения във величината, като се има предвид размерът на астероида и че тежестите на всяка частица може да не са успоредни.

Друга основна разлика е, че центърът на масата е открит независимо от това дали има сила, наречена тегло, приложена към обекта. Това е присъщо свойство на обекта, което ни разкрива как се разпределя неговата маса спрямо неговата геометрия.

Центърът на масата съществува дали се прилага тегло или не. И се намира в същото положение, дори ако обектът се премести на друга планета, в която гравитационното поле е различно.

От друга страна, центърът на тежестта е ясно свързан с прилагането на тежестта, както видяхме в предишните параграфи.

Примери за център на тежестта

Център на тежестта на неправилни предмети

Много е лесно да разберете къде е центъра на тежестта на неправилен предмет, като чаша. Първо, той е окачен от всяка точка и оттам се очертава вертикална линия (на фигура 5 това е линията на фуксия в лявото изображение).

Тогава тя е окачена от друга точка и се очертава нова вертикала (тюркоазена линия в дясното изображение). Пресичането на двете линии е центърът на тежестта на чашата.

Фигура 5. CG местоположение на халба. Източник: модифициран от Pixabay.

Балансиране на обекти

Нека анализираме стабилността на камион, пътуващ по пътя. Когато центърът на тежестта е над основата на подемно-транспортното средство, подемно-транспортното средство няма да се преобърне. Изображението вляво е най-стабилната позиция.

Фигура 6. Балансиране на подемно-транспортното средство. Източник: самостоятелно направен.

Дори когато подемно-транспортното средство се наклони надясно, ще може да се върне в стабилно равновесно положение, както в средния чертеж, тъй като вертикалата все още минава през основата. Въпреки това, когато тази линия излиза извън камиона ще се преобърне.

Диаграмата показва силите на опорната точка: нормално в жълто, тегло в зелено и статично триене вляво във фуксия. Нормално и триене се прилагат върху оста на въртене, така че те не упражняват въртящ момент. Следователно те няма да допринесат за преобръщане на камиона.

Теглото остава, което упражнява въртящ момент, за щастие обратно на часовниковата стрелка и което има тенденция да върне подемно-транспортното средство в равновесно положение. Обърнете внимание, че вертикалната линия минава през опорната повърхност, която е гумата.

Когато подемно-транспортното средство е в крайно дясно положение, въртящият момент на теглото се променя на часовниковата стрелка. Ако не може да бъде противодействан за друг път, камионът ще се преобърне.

Препратки

1. Bauer, W. 2011. Физика за инженерство и науки. Том 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Физика: Принципи на приложение. 6-та.. Зала „Ед Прентис“. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Физическа. Том 1. 3-то издание на испански език. Compañía Редакция Continental SA de CV 331-341.
4. Рекс, А. 2011. Основи на физиката. Pearson. 146-155.
5. Сиърс, Земански. 2016. Университетска физика със съвременна физика. 14-ти. Изд. Том 1340-346.