В биномно разпределение е разпределение на вероятността от които вероятността от настъпване на събития се изчислява, при условие че те се срещат в две условия: успех или неуспех.
Тези обозначения (успех или неуспех) са напълно произволни, тъй като не означава непременно добри или лоши неща. По време на тази статия ще посочим математическата форма на биномиално разпределение и тогава значението на всеки термин ще бъде обяснено подробно.
Фигура 1. Ролката на матрица е явление, което може да бъде моделирано с помощта на биномиално разпределение. Източник: Pixabay
уравнение
Уравнението е следното:
С x = 0, 1, 2, 3….n, където:
- P (x) е вероятността да има точно x успехи между n опита или опита.
- x е променливата, която описва интересуващото явление, съответстващо на броя на успехите.
- n броя на опитите
- p е вероятността за успех в 1 опит
- q е вероятността за неуспех при 1 опит, следователно q = 1 - p
Удивителен знак "!" се използва за нотариално обозначение, така че
0! = 1
един! = 1
двама! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
И така нататък.
понятие
Биномиалното разпределение е много подходящо за описване на ситуации, в които дадено събитие се случва или не се случва. Ако се случи, това е успех, а ако не, то е провал. Освен това, вероятността за успех винаги трябва да остане постоянна.
Има явления, които отговарят на тези условия, например хвърлянето на монета. В този случай можем да кажем, че „успехът“ е получаване на лице. Вероятността е ½ и не се променя, без значение колко пъти е хвърлена монетата.
Ролката на честна матрица е друг добър пример, както и категоризиране на определена продукция на добри парчета и дефектни парчета и получаване на червено вместо черно при въртене на колело.
характеристики
Можем да обобщим характеристиките на биномното разпределение, както следва:
- Всяко събитие или наблюдение се извлича от безкрайна популация без замяна или от ограничена популация със замяна.
- Разглеждат се само два варианта, взаимно изключващи се: успех или неуспех, както беше обяснено в началото.
- Вероятността за успех трябва да бъде постоянна при всяко направено наблюдение.
- Резултатът от всяко събитие е независим от всяко друго събитие.
- Средната стойност на биномното разпределение е np
- Стандартното отклонение е:
Пример за приложение
Нека вземем едно просто събитие, което може да се получи 2 глави 5, като се търкаля честна умира 3 пъти. Каква е вероятността в 3 хвърляния да се получат 2 глави от 5?
Има няколко начина за постигане на това, например:
- Първите две изстрелвания са 5, а последното не.
- Първата и последната са 5, но не и средната.
- Последните две хвърляния са 5, а първото не.
Нека вземем първата последователност, описана като пример, и да изчислим нейната вероятност за възникване. Вероятността да получите 5 глави на първата ролка е 1/6, а също и на втората, тъй като те са независими събития.
Вероятността да се сдобиете с друга глава, различна от 5, на последната ролка е 1 - 1/6 = 5/6. Следователно вероятността тази последователност да е резултат от вероятностите:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Ами другите две поредици? Те имат същата вероятност: 0,023.
И тъй като имаме общо 3 успешни последователности, общата вероятност ще бъде:
Пример 2
Един университет твърди, че 80% от студентите от колежа по баскетболен отбор се дипломират. Разследване изследва академичните записи на 20 студенти, принадлежащи към споменатия баскетболен отбор, записали се в университета преди време.
От тези 20 студенти 11 завършват обучението си, а 9 отпадат.
Фигура 2. Почти всички студенти, които играят за колежния колектив, завършват. Източник: Pixabay
Ако твърдението на университета е вярно, броят на студентите, които играят баскетбол и завършили, от 20, трябва да има биномиално разпределение с n = 20 и p = 0.8. Каква е вероятността точно 11 от 20-те играчи да завършат?
Решение
В биномното разпределение:
Пример 3
Изследователите проведоха проучване, за да установят дали има значителни разлики в степента на завършване между студенти по медицина, приети по специални програми, и студенти по медицина, приети чрез редовни критерии за прием.
Установено е, че степента на завършване е 94% за студентите лекари, приети чрез специални програми (въз основа на данни от списанието на Американската медицинска асоциация).
Ако 10 от специалните програми са избрани на случаен принцип, намерете вероятността поне 9 от тях да са завършили.
б) Ще бъде ли необичайно да се изберат на случаен принцип 10 студенти от специални програми и да се установи, че само 7 от тях са завършили?
Решение
Вероятността студент, приет чрез специална програма да завърши висше образование, е 94/100 = 0,94. Избираме n = 10 студенти от специалните програми и искаме да разберем вероятността поне 9 от тях да се дипломират.
Следните стойности се заместват в биномичното разпределение:
б)
Препратки
- Berenson, M. 1985. Статистика за управление и икономика. Interamericana SA
- MathWorks. Биномиално разпределение. Възстановени от: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Статистика за управление и икономика. 3-ти. издание. Grupo Редакция Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Приложна основна статистика. 2-ри. Edition.
- Triola, M. 2012. Елементарна статистика. 11-ти. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Биномиално разпределение. Възстановено от: es.wikipedia.org