- Свойства на математическото очакване
- Математическото очакване в залаганията
- Примери
- Пример 1
- Пример 2
- Упражнението е разрешено
- Решение
- Препратки
В математически очакването или очакваната стойност на случайна променлива X, е означен като E (X) и се определя като сумата на продукта между вероятността от случайно събитие срещащи се и стойността на споменатото събитие.
В математическа форма тя се изразява по следния начин:
Фигура 1. Математическото очакване се използва широко на фондовия пазар и в застраховането. Източник: Pixabay
Където x i е стойността на събитието и P (x i) неговата вероятност за настъпване. Сумирането се разпростира върху всички стойности, които допуска X. И ако те са ограничени, посочената сума се сближава до стойността E (X), но ако сумата не се сближава, променливата просто няма очакваната стойност.
Когато е непрекъсната променлива x, променливата може да има безкрайни стойности и интегралите заменят сумирането:
Тук f (x) представлява функцията на плътността на вероятностите.
Като цяло математическото очакване (което е средно претеглено) не е равно на средноаритметичната или средната стойност, освен ако не имаме работа с дискретни разпределения, при които всяко събитие е еднакво вероятно. Тогава и само тогава:
Където n е броят на възможните стойности.
Концепцията е много полезна на финансовите пазари и застрахователните компании, където сигурността често липсва, но вероятностите съществуват.
Свойства на математическото очакване
Сред най-важните свойства на математическото очакване се открояват следните:
- Знак: ако X е положителен, тогава E (X) също ще бъде положителен.
- Очаквана стойност на константа: очакваната стойност на реална константа k е константата.
- Линейност в сумата: очакването на произволна променлива, която от своя страна е сумата от две променливи X и Y е сумата на очакванията.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Умножение по константа: ако случайната променлива е във формата kX, където k е константа (реално число), тя излиза извън очакваната стойност.
- Очаквана стойност на продукта и независимост между променливите: ако случайна променлива е произведение на случайните променливи X и Y, които са независими, тогава очакваната стойност на продукта е произведението на очакваните стойности.
Като цяло, ако Y = g (X):
- Поръчка в очакваната стойност: ако X ≤ Y, тогава:
Тъй като има очакваните стойности на всеки от тях.
Математическото очакване в залаганията
Когато известният астроном Кристиан Хюйгенс (1629-1695) не наблюдава небето, той се посвещава на изучаването, наред с други дисциплини, на вероятност в хазартни игри. Именно той въведе концепцията за математическата надежда в своята работа от 1656 г., озаглавена: Разсъждение за игрите на късмета.
Фигура 2. Кристиан Хюйгенс (1629-1625) беше блестящ и многостранен учен, на когото дължим концепцията за очакваната стойност.
Хюйгенс откри, че залозите могат да бъдат класифицирани по три начина въз основа на очакваната стойност:
-Игри с предимство: E (X)> 0
- Справедливи залози: E (X) = 0
-Игра в неравностойно положение: E (X) <0
Проблемът е, че при случайна игра математическото очакване не винаги е лесно да се изчисли. И когато можете, резултатът понякога е разочароващ за тези, които се чудят дали да залагат или не.
Нека опитаме прост залог: глави или опашки, а губещият плаща 1 долар кафе. Каква е очакваната стойност на този залог?
Е, вероятността да се навият глави е ½, равна на опашки. Случайната променлива е да спечелите $ 1 или да загубите $ 1, печалбата се обозначава със знака +, а загубата от знака -.
Организираме информацията в таблица:
Умножаваме стойностите на колоните: 1. ½ = ½ и (-1). ½ = -½ и накрая се добавят резултатите. Сумата е 0 и това е честна игра, в която се очаква участниците нито да спечелят, нито да загубят.
Френската рулетка и лотарията са хендикап игри, в които повечето залагащи губят. По-късно има малко по-сложен залог в раздела с решени упражнения.
Примери
Ето няколко прости примера, при които понятието математическо очакване е интуитивно и изяснява понятието:
Пример 1
Ще започнем с преобръщане на честна матрица. Каква е очакваната стойност на старта? Е, ако матрицата е честна и има 6 глави, вероятността всяка стойност (X = 1, 2, 3… 6) да се завърти е 1/6, като тази:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Фигура 3. В ролката на честна матрица, очакваната стойност не е възможна стойност. Източник: Pixabay
Очакваната стойност в този случай е равна на средната, тъй като всяко лице има еднаква вероятност да излезе. Но E (X) не е възможна стойност, тъй като никоя глава не струва 3,5. Това е напълно възможно при някои разпределения, въпреки че в този случай резултатът не помага много на залагащия.
Нека да разгледаме друг пример с хвърлянето на две монети.
Пример 2
Две честни монети се хвърлят във въздуха и ние определяме случайната променлива X като броя на главите, които се търкалят. Събитията, които могат да се случат са следните:
-Не излизат глави: 0 глави, което е равно на 2 опашки.
-Идва 1 глава и 1 печат или опашки.
-Две лица излизат.
Нека C е глава, а T печат, примерното пространство, което описва тези събития, е следното:
S m = {Печат-Печат; Запечатайте-лице; Лице-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}
Вероятностите на случващите се събития са:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Таблицата е изградена с получените стойности:
Според определението, дадено в началото, математическото очакване се изчислява като:
Заместващи стойности:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Този резултат се тълкува по следния начин: ако човек има достатъчно време да направи голям брой експерименти чрез хвърляне на двете монети, се очаква да получи глава на всяко хвърляне.
Знаем обаче, че изданията с 2 етикета са напълно възможни.
Упражнението е разрешено
При хвърлянето на две честни монети се прави следния залог: ако излязат 2 глави, печелите $ 3, ако излиза 1 глава печелите $ 1, но ако излязат две марки, трябва да платите 5 $. Изчислете очакваната печалба от залога.
Фигура 4. В зависимост от залога, математическото очакване се променя при хвърляне на две честни монети. Източник: Pixabay
Решение
Случайната променлива X е стойностите, които парите вземат при залога, а вероятностите са изчислени в предишния пример, следователно таблицата на залога е:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Тъй като очакваната стойност е 0, това е честна игра, така че тук се очаква залагащият да не спечели и да не загуби нито едното. Сумите на залога обаче могат да се променят, за да направи залога игра с хендикап или хендикап.
Препратки
- Brase, C. 2009. Разбираема статистика. Хауфтън Мифлин.
- Olmedo, F. Въведение в концепцията за очакваната стойност или математическото очакване на случайна променлива. Възстановени от: personal.us.es.
- Статистика LibreTexts. Очаквана стойност на дискретни случайни променливи. Възстановено от: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. Елементарна статистика. 11-ти. Ред. Аддисън Уесли.
- Walpole, R. 2007. Вероятност и статистика за науката и инженерството. 8-ми. Edition. Pearson Education.