ТРИНОМЕН НА ФОРМАТА X ^ 2 + BX + C (С ПРИМЕРИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

Преди да се научим да решаваме тринома от формата x ^ 2 + bx + c, и дори преди да познаем понятието триномиал, е важно да знаем две основни понятия; а именно понятията мономиално и полиноми. Мономиалът е израз на типа a * x ⁿ, където a е рационално число, n е естествено число и x е променлива.

Полином е линейна комбинация от мономери с формата a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, където всеки a _i, с i = 0,…, n, е рационално число, n е естествено число и a_n е ненулево. В този случай се казва, че степента на полинома е n.

Полином, образуван от сумата от само два члена (два мономера) с различни степени, е известен като двучлен.

Trinomials

Полином, образуван от сумата от само три члена (три мономена) с различни степени, е известен като триномен. Следват примери за триноми:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Има няколко вида триноми. От тях се отличава перфектният квадратен тричлен.

Перфектен квадратен тричлен

Идеалният квадратен тричлен е резултат от квадратиране на двучлен. Например:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Характеристики на триномите от 2 клас

Перфектен квадрат

По принцип триномиалът на формата ax ² + bx + c е перфектен квадрат, ако дискриминаторът му е равен на нула; тоест, ако b ² -4ac = 0, тъй като в този случай той ще има един корен и той може да се изрази под формата a (xd) ² = (√a (xd)) ², където d е вече споменатият корен.

Корен на полином е число, при което полинома става нула; с други думи, число, което при заместване на x в полиномен израз, води до нула.

Решаваща формула

Обща формула за изчисляване на корените на полином от втора степен на формата ax ² + bx + c е формулата на разтворител, която гласи, че тези корени са дадени от (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2а, когато в ² -4ac е известен като дискриминантата и обикновено обозначен с Δ. От тази формула следва, че ос ² + bx + c има:

- Два различни истински корена, ако ∆> 0.

- Единен реален корен, ако ∆ = 0.

- Той няма реален корен, ако ∆ <0.

По-нататък ще бъдат разгледани само триноми във формата x ² + bx + c, където ясно c трябва да е число, различно от нула (в противен случай би било биномиално). Тези видове триноми имат определени предимства при факторинг и работа с тях.

Геометрична интерпретация

Геометрично на трином х ² + BX + с е парабола който се отваря нагоре и има връх в точка (Ь / 2, Ь ² / 4+ в) на декартовата равнина, която х ² + BX + с = (х + б / 2) ² -Ь ² / 4+ С.

Тази парабола отрязва оста Y в точката (0, с) и оста X в точките (d ₁, 0) и (d ₂, 0); тогава d ₁ и d ₂ са корените на триномия. Може да се случи триномът да има един корен d, като в този случай единственият разрез с оста X би бил (d, 0).

Може също така да се случи триномиалът да няма никакъв реален корен, в този случай той не би пресичал оста X в никоя точка.

Например, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² е параболата с върха при (-3,0), която пресича оста Y при (0, 9) и към оста X при (-3,0).

Триномиален факторинг

Много полезен инструмент при работа с полиноми е факторингът, който се състои в изразяване на полином като продукт на фактори. Като цяло, като се има предвид тринома от формата x ² + bx + c, ако той има два различни корена d ₁ и d ₂, той може да се разглежда като (xd ₁) (xd ₂).

Ако той има един корен d, той може да бъде определян като (xd) (xd) = (xd) ², а ако няма реален корен, той остава същият; в този случай тя не признава факторизацията като продукт на други фактори, различни от самата нея.

Това означава, че знаейки корените на тринома във вече установената форма, неговата факторизация може лесно да се изрази и както вече беше споменато по-горе, тези корени винаги могат да бъдат определени с помощта на разтворител.

Съществува обаче значително количество от този тип триноми, които могат да бъдат взети предвид, без предварително да знаят корените си, което опростява работата.

Корените могат да се определят директно от факторизацията, без да се използва разтворителната формула; това са полиномите от формата x ² + (a + b) x + ab. В този случай имаме:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

От това лесно се вижда, че корените са –a и –b.

С други думи, като се даде тричлен x ² + bx + c, ако има две числа u и v, такива, че c = uv и b = u + v, тогава x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Тоест, като се има предвид тричлен x ² + bx + c, първо се проверява дали има две числа такива, че умножени дават независимия термин (c) и добавени (или извадени, в зависимост от случая), те дават термина, който придружава x (б).

Не при всички триноми по този начин този метод може да се приложи; в които не е възможно, се използва резолюцията и се прилага горепосоченото.

Примери

Пример 1

За да изчислите следния тричлен x ² + 3x + 2, продължете както следва:

Трябва да намерите две числа, така че при добавянето им резултатът е 3, а при умножаването им резултатът е 2.

След извършване на проверка може да се заключи, че търсените числа са: 2 и 1. Следователно, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Пример 2

За да разделим триномия x ² -5x + 6, търсим две числа, чиято сума е -5, а произведението им е 6. Числата, които отговарят на тези две условия, са -3 и -2. Следователно, факторизацията на дадения триномен е x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Препратки

1. Fuentes, A. (2016). ОСНОВНА МАТА. Въведение в смятане. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратични уравнения: Как се решава квадратично уравнение. Марил Гаро.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика за управление и икономика. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
5. Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
6. Rock, NM (2006). Алгебра I е лесна! Толкова е лесно. Team Rock Press.
7. Съливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.