АНАЛИЗ НА МРЕЖАТА: КОНЦЕПЦИИ, МЕТОДИ, ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

Анализът на мрежата е техника, използвана за решаване на самолети с електрически вериги. Тази процедура може също да се появи в литературата като метод на токови вериги или метод на мрежести (или контурни) токове.

Основата на този и други методи за анализ на електрически вериги е в законите на Кирххоф и закона на Ом. Законите на Кирхоф, от своя страна, са израз на два много важни принципа на съхранение във физиката за изолирани системи: електрически заряд и енергия се запазват.

Фигура 1. Схемите са част от безброй устройства. Източник: Pixabay

От една страна, електрическият заряд е свързан с ток, който е заряд в движение, докато в една верига енергията е свързана с напрежението, което е агентът, който отговаря за извършването на работата, необходима за задържането на заряда да се движи.

Тези закони, приложени към плоска верига, генерират набор от едновременни уравнения, които трябва да бъдат решени, за да се получат стойностите на тока или напрежението.

Системата на уравненията може да бъде решена с вече известни аналитични техники, като правилото на Креймер, което изисква изчисляването на детерминантите, за да се получи решението на системата.

В зависимост от броя на уравненията, те се решават с помощта на научен калкулатор или някакъв математически софтуер. Има и много опции, достъпни онлайн.

Важни условия

Преди да обясним как работи, ще започнем с дефинирането на тези термини:

Клон: секция, която съдържа елемент от веригата.

Възел: точка, която свързва два или повече клона.

Loop: е всяка затворена част от верига, която започва и завършва в същия възел.

Mesh: цикъл, който не съдържа никакъв друг цикъл вътре (съществена мрежа).

методи

Мрежевият анализ е общ метод, използван за решаване на вериги, чиито елементи са свързани последователно, паралелно или по смесен начин, тоест когато типът на връзката не е ясно разграничен. Веригата трябва да е равна или поне трябва да е възможно да я пречертаете като такава.

Фигура 2. Плоски и не плоски вериги. Източник: Александър, C. 2006. Основи на електрическите вериги. 3-ти. Edition. Mc Graw Hill.

Пример за всеки тип верига е показан на фигурата по-горе. След като въпросът е ясен, за начало ще приложим метода към обикновена схема като пример в следващия раздел, но първо ще разгледаме накратко законите на Ом и Кирхоф.

Законът на Ом: нека V е напрежението, R съпротивлението и I токът на омичния резистивен елемент, в който напрежението и токът са пряко пропорционални, като съпротивлението е константата на пропорционалност:

Законът на напрежението на Кирхоф (LKV): При всеки затворен път, изминат само в една посока, алгебраичната сума на напреженията е нула. Това включва напрежения, дължащи се на източници, резистори, индуктори или кондензатори: ∑ E = ∑ R _i. аз

Законът на Кирхоф на тока (LKC): при всеки възел алгебраичната сума на токовете е нула, като се вземе предвид, че на входящите токове се присвоява един знак, а на тези, които оставят друг. По този начин: ∑ I = 0.

С метода на мрежовия ток не е необходимо да се прилага действащият закон на Кирххоф, което води до по-малко уравнения за решаване.

- Стъпки за прилагане на мрежов анализ

Ще започнем с обяснението на метода за верига с 2 мрежи. След това процедурата може да бъде разширена за по-големи вериги.

Фигура 3. Верига с резистори и източници, подредени в две мрежи. Източник: Ф. Сапата.

Етап 1

Задайте и изтеглете независими токове към всяка мрежа, в този пример те са I ₁ и I ₂. Те могат да бъдат изтеглени или по посока на часовниковата стрелка.

Стъпка 2

Прилагайте Закона на напрежението на Кирхоф (LTK) и закона на Ом към всяка мрежа. Потенциалните падения се присвояват знак (-), докато повишения се присвояват знак (+).

Mesh abcda

Започвайки от точка a и следвайки посоката на тока, откриваме потенциално покачване на батерията E1 (+), след това спад в R ₁ (-) и след това друг спад в R ₃ (-).

Едновременно с това, устойчивост R ₃ е също пресича от текущата I ₂, но в обратна посока, поради което представлява увеличение (+). Първото уравнение изглежда така:

Тогава тя е фактурирана и условията се прегрупират:

---------

-50 I ₁ + 10I ₂ = -12

Тъй като това е 2 x 2 система от уравнения, тя може да бъде лесно разрешена чрез редукция, умножавайки второто уравнение по 5, за да се премахне неизвестното I ₁:

-50 I ₁ + 10 I ₂ = -12

Веднага текущият I ₁ се изчиства от което и да е от първоначалните уравнения:

Отрицателният знак в тока I ₂ означава, че токът в мрежа 2 циркулира в обратна посока на изтегления.

Токовете във всеки резистор са както следва:

В настоящата I ₁ = 0.16 А протича през съпротивление R ₁ в посока изготвен чрез съпротивление R ₂ текущата I ₂ = 0.41 А протича в посока, противоположна на тази, изготвен, както и чрез съпротивление R ₃ потоци и ₃ = 0.16- (-0,41) A = 0,57 A надолу.

Системно решение по метода на Cramer

В матрична форма системата може да бъде решена, както следва:

Стъпка 1: Изчислете Δ

Първата колона се заменя от независимите условия на системата от уравнения, поддържайки реда, в който първоначално е предложена системата:

Стъпка 3: Изчислете I

Стъпка 4: Изчислете Δ

Фигура 4. 3-мрежа мрежа. Източник: Boylestad, R. 2011. Въведение в анализа на веригата.2da. Edition. Пиърсън.

Решение

Трите мрежести тока се изтеглят, както е показано на следващата фигура, в произволни посоки. Сега мрежите се преминават от всяка точка:

Фигура 5. Мрежести токове за упражнение 2. Източник: F. Zapata, модифициран от Boylestad.

Мрежа 1

-9100.I ₁ + 18-2200.I ₁ + 9100.I ₂ = 0

Мрежа 3

Система от уравнения

Въпреки че числата са големи, това може да се реши бързо с помощта на научен калкулатор. Не забравяйте, че уравненията трябва да бъдат подредени и да добавите нули на местата, където неизвестното не се появява, както се появява тук.

Мрежестите токове са:

Токовете I ₂ и I ₃ циркулират в обратна посока на показаната на фигурата, тъй като те се оказаха отрицателни.

Таблица на токове и напрежения във всяко съпротивление

Съпротивление (Ω)	Ток (ампери)	Напрежение = IR (волта)
9100	I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168	15.3
3300	0,00062	2.05
2200	0.0012	2.64
7500	0,00048	3.60
6800	I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0.00014	0.95

Решение за правило на Крамер

Тъй като те са в голям брой, е удобно да се използва научна нотация, за да се работи директно с тях.

Изчисляване на I ₁

Цветните стрелки в детерминанта 3 x 3 показват как да намерите числовите стойности, умножавайки посочените стойности. Нека започнем с получаване на тези от първата скоба в детерминанта Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 ¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Веднага получаваме втората скоба в същата детерминанта, която се работи от ляво на дясно (за тази скоба цветните стрелки не бяха начертани на фигурата). Каним читателя да го потвърди:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10 ¹¹

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10 ¹¹

По същия начин четецът може да провери и стойностите за детерминанта Δ ₁.

Важно: между двете скоби винаги има отрицателен знак.

Накрая ток I ₁ се получава чрез I ₁ = Δ ₁ / Δ

Изчисляване на I ₂

Процедурата може да се повтори, за да се изчисли I ₂, в този случай за изчисляване на детерминанта Δ ₂, втората колона на детерминанта Δ се заменя с колоната на независимите термини и се намира нейната стойност, съгласно обяснената процедура.

Въпреки това, тъй като е тромаво поради големите числа, особено ако нямате научен калкулатор, най-простото е да замените вече изчислената стойност на I ₁ в следното уравнение и да решите за:

Изчисляване на I3

Веднъж със стойностите на I ₁ и I ₂ в ръка, тази на I ₃ се намира директно чрез заместване.

Препратки

1. Александър, C. 2006. Основи на електрическите вериги. 3-ти. Edition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Въведение в анализа на веригата.2da. Edition. Пиърсън.
3. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 5. Електрическо взаимодействие. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB).
4. Гарсия, Л. 2014. Електромагнетизъм. 2-ри. Edition. Индустриален университет в Сантандер.
5. Сиърс, Земански. 2016. Университетска физика със съвременна физика. 14-ти. Изд. Том 2.