ИСТОРИЧЕСКА ОСНОВА НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

На историческо минало на аналитичната геометрия се върнем към седемнадесети век, когато Пиер дьо Ферма и Рене Декарт дефинира своята фундаментална идея. Изобретението му последва модернизацията на алгебрата и алгебраичната нотация на Франсоа Вите.

Това поле има своите основи в Древна Гърция, особено в трудовете на Аполоний и Евклид, които оказаха голямо влияние в тази област на математиката.

Съществената идея зад аналитичната геометрия е, че връзка между две променливи, такава, че едната е функция на другата, определя кривата.

Тази идея е разработена за първи път от Пиер де Фермат. Благодарение на тази съществена рамка Исак Нютон и Готфрид Лайбниц успяха да развият смятането.

Френският философ Декарт също откри алгебричен подход към геометрията, очевидно сам. Работата на Декарт по геометрия се появява в известната му книга „Дискурс за метода“.

Тази книга посочва, че геометричните конструкции на компаса и правите ръбове включват събиране, изваждане, умножение и квадратни корени.

Аналитичната геометрия представлява обединението на две важни традиции в математиката: геометрията като изучаване на формата и аритметика и алгебра, които имат общо с количеството или числата. Следователно аналитичната геометрия е изследването на полето на геометрията с помощта на координатни системи.

история

Фон на аналитичната геометрия

Връзката между геометрията и алгебрата се развива през цялата история на математиката, въпреки че геометрията достига до по-ранен етап на зрялост.

Например гръцкият математик Евклид успя да организира много резултати в класическата си книга „Елементите“.

Но именно древногръцкият Аполоний от Перга е предсказал развитието на аналитичната геометрия в книгата си Коники. Той определи коник като пресечната точка между конус и равнина.

Използвайки резултатите на Евклид върху подобни триъгълници и секанти на окръжности, той намери връзка, дадена от разстоянията от всяка точка "P" на конус до две перпендикулярни линии, основната ос на конуса и допирателната в крайната точка на оста. Аполоний използва тази връзка, за да изведе основни свойства на кониците.

Последващото развитие на координатни системи в математиката се появи едва след като алгебрата е узряла благодарение на ислямските и индийските математици.

До Ренесанса геометрията се използва за оправдаване на решения на алгебраичните проблеми, но не е много, че алгебрата може да допринесе за геометрията.

Тази ситуация би се променила с приемането на удобна нотация за алгебрични отношения и разработването на концепцията за математическа функция, която сега беше възможна.

Век XVI

В края на 16 век френският математик Франсоа Вите въвежда първата систематична алгебраична нотация, използвайки букви за представяне на числови величини, както познати, така и неизвестни.

Той също така разработва мощни общи методи за работа на алгебраични изрази и решаване на алгебраични уравнения.

Благодарение на това математиците не бяха напълно зависими от геометричните фигури и геометричната интуиция за решаване на проблеми.

Дори някои математици започнаха да изоставят стандартния геометричен начин на мислене, според който линейните променливи на дължини и квадрати съответстват на области, докато кубичните променливи съответстват на обемите.

Първите, които предприеха тази стъпка, бяха философът и математик Рене Декарт и юристът и математик Пиер де Фермат.

Основа на аналитичната геометрия

Декарт и Фермат независимо основават аналитичната геометрия през 1630-те години, като приемат алгебрата на Вите за изследване на локуса.

Тези математици разбрали, че алгебрата е мощен инструмент в геометрията и измислили това, което днес е известно като аналитична геометрия.

Един пробив, който направиха, беше да надмине Виет, използвайки букви, за да представи разстоянията, които са променливи, а не фиксирани.

Декарт използва уравнения за изследване на геометрично дефинирани криви и подчерта необходимостта от обсъждане на общи алгебраично-графични криви на полиномични уравнения в градуси "x" и "y".

От своя страна Фермат подчерта, че всяка връзка между координатите "x" и "y" определя крива.

Използвайки тези идеи, той преструктурира изявленията на Аполоний в алгебрични термини и възстанови част от изгубената си работа.

Фермат посочи, че всяко квадратно уравнение в "x" и "y" може да бъде поставено в стандартната форма на един от коничните секции. Въпреки това Фермат никога не е публикувал работата си по темата.

Благодарение на техния напредък, което Архимед можеше да разреши само с голяма трудност и за изолирани случаи, Фермат и Декарт можеха да разрешат бързо и за голям брой криви (сега известни като алгебраични криви).

Но идеите му придобиват общо приемане само чрез усилията на други математици през втората половина на 17 век.

Математиците Frans van Schooten, Florimond de Beaune и Johan de Witt помогнаха за разширяването на работата на Decartes и добавиха важен допълнителен материал.

влияние

В Англия Джон Уолис популяризира аналитичната геометрия. Той използва уравнения, за да определи кониките и да изведе техните свойства. Въпреки че използва отрицателни координати свободно, Исаак Нютон е използвал две коси оси, за да раздели равнината на четири квадранта.

Нютон и германският Готфрид Лайбниц революционизират математиката в края на 17-ти век, като независимо демонстрират силата на смятането.

Нютон демонстрира значението на аналитичните методи в геометрията и тяхната роля в смятането, когато твърди, че всяко кубче (или всяка алгебраична крива от трета степен) има три или четири стандартни уравнения за подходящи координатни оси. С помощта на самия Нютон шотландският математик Джон Стърлинг го доказва през 1717г.

Аналитична геометрия на три и повече измерения

Въпреки че и Декарт, и Ферма предложиха да се използват три координати за изучаване на криви и повърхности в пространството, триизмерната аналитична геометрия се развиваше бавно до 1730г.

Математиците Ойлер, Херман и Клайро са произвели общи уравнения за цилиндри, конуси и повърхности на въртене.

Например Ойлер използва уравнения за преводи в пространството, за да трансформира общата квадратна повърхност, така че основните й оси да съвпадат с нейните координатни оси.

Ойлер, Джоузеф-Луи Лагранж и Гаспард Монж направиха аналитичната геометрия независима от синтетичната (неаналитична) геометрия.

Препратки

1. Развитието на аналитичната геометрия (2001). Възстановено от encyclopedia.com
2. История на аналитичната геометрия (2015). Възстановено от maa.org
3. Анализ (математика). Възстановени от britannica.com
4. Аналитична геометрия. Възстановени от britannica.com
5. Декарт и раждането на аналитичната геометрия. Възстановени от sciencedirect.com