ПРИБЛИЗИТЕЛНО И ИЗЛИШНО ПРИБЛИЖЕНИЕ: КАКВО Е И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Приближаването под и над е числов метод, използван за установяване на стойността на числото според различни скали на точност. Например числото 235 623 е близко до 235.6 по подразбиране и 235.7 за повече. Ако считаме десетите за обвързана грешка.

Приближаването се състои в замяна на точна цифра с друга, където споменатата подмяна трябва да улесни операциите на математически проблем, запазвайки структурата и същността на проблема.

Източник: Pexels

A ≈B

Чете се; А около B. Където "A" представлява точната стойност, а "B" приблизителната стойност.

Значителни числа

Стойностите, с които се определя приблизително число, са известни като значими цифри. В приближаването на примера бяха взети четири значими фигури. Прецизността на числото се дава от броя на значимите цифри, които го определят.

Безкрайните нули, които могат да бъдат разположени както вдясно, така и вляво от числото, не се считат за значими цифри. Местоположението на запетаята не играе никаква роля при определянето на значими цифри в число.

750385,,,, 00.0075038500.,,, 75.038500000.,,,, 750385000.,,,, ,,,,, 000007503850000.,,,,

На какво се състои?

Методът е доста прост; изберете ограничена грешка, която не е нищо друго освен числовия диапазон, в който искате да направите рязането. Стойността на този диапазон е пряко пропорционална на грешката на приблизителното число.

В горния пример 235 623 притежава хиляди (623). Тогава е направено приближението към десетите. Излишната стойност (235.7) съответства на най-значимата стойност в десети веднага след първоначалното число.

От друга страна, стойността по подразбиране (235.6) съответства на най-близката и най-значимата стойност в десети, която е преди първоначалното число.

Числовото приближение е доста често срещано на практика с числата. Други широко използвани методи са закръгляването и отрязването; които отговарят на различни критерии за присвояване на стойностите.

Погрешността

Когато дефинираме числовия диапазон, който числото ще обхване след приближаването им, ние също така определяме границата на грешката, която придружава фигурата. Това ще бъде обозначено със съществуващо или значително рационално число в зададения диапазон.

В първоначалния пример стойностите, дефинирани с излишък (235.7) и по подразбиране (235.6), имат приблизителна грешка от 0,1. При статистически и вероятностни проучвания се обработват 2 вида грешки по отношение на числовата стойност; абсолютна грешка и относителна грешка.

везни

Критериите за установяване на обхвата на приближение могат да бъдат силно променливи и са тясно свързани със спецификациите на елемента, който трябва да бъде апроксимиран. В страни с висока инфлация прекомерните приближения игнорират някои числови диапазони, тъй като те са по-ниски от инфлационната скала.

По този начин при инфлация, по-голяма от 100%, продавачът няма да коригира даден продукт от $ 50 до $ 55, но ще го приближи до $ 100, като по този начин игнорира единиците и десетките, като директно се приближава до стотиците.

Използване на калкулатора

Конвенционалните калкулатори носят със себе си FIX режима, при който потребителят може да конфигурира броя на десетичните знаци, които иска да получи в своите резултати. Това генерира грешки, които трябва да се имат предвид при извършване на точни изчисления.

Ирационално приближение на числата

Някои стойности, широко използвани в числовите операции, принадлежат към множеството ирационални числа, чиято основна характеристика е да има неопределен брой десетични знаци.

източник: Pexels.

Стойности като:

• π = 3.141592654….
• e = 2.718281828…
• =2 = 1.414213562…

Те са често срещани при експериментирането и техните стойности трябва да бъдат определени в определен диапазон, като се вземат предвид възможните генерирани грешки.

За какво са те?

В случай на разделяне (1 ÷ 3) се наблюдава чрез експериментиране, необходимостта от установяване на намаляване на броя на извършените операции за определяне на числото.

1 ÷ 3 = 0,333333.,,,,, 1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333.,,,, / 10000.,,,, = 0,333333.,,,, Представена е операция, която може да бъде продължена за неопределено време, така че е необходимо да се приближи в някакъв момент.

В случай че:

1 ÷ 3 333333.,,,, / 10000.,,,, = 0,333333.,,,, За всяка точка, установена като граница на грешка, ще бъде получено число, по-малко от точната стойност на (1 ÷ 3). По този начин всички направени по-рано приближения са приблизителни по подразбиране на (1 ÷ 3).

Примери

Пример 1

1. Кое от следните числа е приближение по подразбиране 0,0127

• 0.13
• 0,012; Това е приближение по подразбиране 0,0127
• 0.01; Това е приближение по подразбиране 0,0127
• 0.0128

Пример 2

1. Кое от следните числа е излишно приблизително 23,435

• 24; е сближаване с излишък от 23,435
• 23.4
• 23.44; е сближаване с излишък от 23,435
• 23,5; е сближаване с излишък от 23,435

Пример 3

1. Определете следните числа, като използвате приблизително приближение, със зададената грешка.

• 547.2648…. За хилядни, стотни и десетки.

Хиляди: Хилядите отговарят на първите 3 цифри след запетаята, където след 999 идва единицата. Пристъпваме към приблизително 547 264.

Стотици: Означени с първите 2 цифри след запетаята, стотни трябва да се срещнат, 99, за да достигнат единство. По този начин той се приближава по подразбиране до 547.26.

Десетки: В този случай ограничената грешка е много по-висока, защото диапазонът на приближението се определя в рамките на цели числа. Когато се приближите по подразбиране в десетката, получавате 540.

Пример 4

1. Определете следните числа с помощта на излишно приближение със зададената грешка.

• 1204,27317 За десети, стотици и такива.

Десети: Отнася се до първата цифра след запетаята, където единицата е съставена след 0.9. Приближаването на десетите надхвърля 1204.3.

Стотици: Отново се наблюдава ограничена грешка, чийто диапазон е в рамките на цялото число на фигурата. Приближаването на стотиците в излишък дава 1300. Тази цифра значително се различава от 1204.27317. Поради това приближенията обикновено не се прилагат за цели числа.

Единици: С прекомерно приближаване до единицата се получава 1205.

Пример 5

1. Шивачка отрязва дължина на тъканта 135,3 см, за да направи флаг от 7855 см ². Колко ще измери другата страна, ако използвате конвенционален владетел, който маркира до милиметри.

Приближете резултатите по излишък и дефект.

Площта на знамето е правоъгълна и се определя от:

A = страна x страна

страна = A / страна

страна = 7855см ² / 135,3см

страна = 58.05617147 cm

Благодарение на оценката на правилото можем да получим данни до милиметри, което съответства на диапазона на десетичните знаци по отношение на сантиметра.

Така 58см е приблизително приближение.

Докато 58.1 е излишно приближение.

Пример 6

1. Определете 9 стойности, които могат да бъдат точни числа във всяко от приближенията:

• 34,071 са резултат от приблизително хилядни по подразбиране

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 е резултат от приблизително хилядни по подразбиране

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0.01201 0.0121457 0.01297

• 23.9 е резултат от сближаване на десети от излишъка

23.801 23.85555 23.81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 е резултат от приближаването на стотни в излишък

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58.3623 58.361 58.3634

Пример 7

1. Приблизително всяко ирационално число според посочената граница на грешка:

• π = 3.141592654….

Хиляди по подразбиране π = 3.141

Хиляди с излишък π = 3.142

Стотици по подразбиране π = 3.14

Стотици с излишък π = 3.15

Десети по подразбиране π = 3.1

Десети части от излишък π = 3.2

• e = 2.718281828…

Хиляди по подразбиране e = 2.718

Хиляди от излишък e = 2.719

Стотици по подразбиране e = 2,71

Стотици в излишък e = 2,72

Десети по подразбиране e = 2.7

Десети части от излишък e = 2.8

• =2 = 1.414213562…

Хиляди по подразбиране √2 = 1.414

Хиляди с излишък √2 = 1.415

Стотици по подразбиране √2 = 1.41

Стотни излишъци √2 = 1,42

Десети по подразбиране √2 = 1.4

Десети части от излишък √2 = 1.5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333.,,,,

Хиляди по подразбиране 1 ÷ 3 = 0,332

Хиляди над 1 ÷ 3 = 0,334

Стотици по подразбиране 1 ÷ 3 = 0,33

Стотици над 1 ÷ 3 = 0,34

Десети по подразбиране 1 ÷ 3 = 0,3

Десети части от излишък 1 ÷ 3 = 0,4

Препратки

1. Проблеми в математическия анализ. Пьотр Билер, Алфред Витковски. Университет във Вроцлав. Полша.
2. Въведение в логиката и методологията на дедуктивните науки. Алфред Тарски, Ню Йорк Оксфорд. Университетска преса в Оксфорд.
3. Учителят по аритметика, том 29. Национален съвет на учителите по математика, 1981. Университетът в Мичиган.
4. Теория на ученето и преподаването на числа: Изследвания в познанието и инструктажа / редактирани от Стивън Р. Кембъл и Рина Заскис. Публикуване в Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Руан: IREM.