- Приближения с помощта на диференциала
- Има ли по-добри приближения?
- стратегия
- Решени упражнения за сближаване
- Първо упражнение
- Второ упражнение
- Трето упражнение
- Четвърто упражнение
- Препратки
Приближаване в математиката е число, което не е точната стойност на нещо, но е толкова близо до него, че се счита за полезно като тази точна стойност.
Когато се правят приближения в математиката, това е, защото ръчно е трудно (или понякога невъзможно) да се знае точната стойност на това, което искате.
Основният инструмент при работа с приближения е диференциалът на функция.
Разликата на функция f, обозначена с Δf (x), не е нищо повече от производното на функцията f пъти изменението на независимата променлива, тоест Δf (x) = f '(x) * Δx.
Понякога df и dx се използват вместо Δf и Δx.
Приближения с помощта на диференциала
Формулата, която се прилага за извършване на приближение чрез диференциал, възниква именно от дефинирането на производната на функция като граница.
Тази формула се дава от:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Тук се разбира, че Δx = x-x0, следователно x = x0 + Δx. Използвайки това, формулата може да бъде пренаписана като
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Трябва да се отбележи, че "x0" не е произволна стойност, а стойност такава, че f (x0) е лесно известна; освен това "f (x)" е само стойността, която искаме да приблизим.
Има ли по-добри приближения?
Отговорът е да. Горното е най-простото от приближенията, наречено "линейно приближение".
За по-добро качество на приближенията (направената грешка е по-малка) се използват полиноми с повече производни, наречени „Тейлорови полиноми“, както и други числени методи като метода на Нютон-Рафсън.
стратегия
Стратегията, която следвате, е:
- Изберете подходяща функция f, която да извърши приближението и стойността «x», така че f (x) е стойността, която трябва да бъде апроксимирана.
- Изберете стойност "x0", близка до "x", така че f (x0) е лесно да се изчисли.
- Изчислете Δx = x-x0.
- Изчислете производната на функцията y f '(x0).
- Заменете данните във формулата.
Решени упражнения за сближаване
В това, което продължава, има поредица от упражнения, в които се правят приближения с помощта на диференциала.
Първо упражнение
Приблизително √3.
Решение
Следвайки стратегията, трябва да бъде избрана подходяща функция. В този случай може да се види, че избраната функция трябва да бъде f (x) = √x, а стойността, която трябва да се приближи, е f (3) = √3.
Сега трябва да изберем стойност "x0", близка до "3", така че f (x0) е лесно да се изчисли. Ако е избрано "x0 = 2", тогава "x0" е близо до "3", но f (x0) = f (2) = √2 не е лесно да се изчисли.
Подходящата стойност на "x0" е "4", тъй като "4" е близка до "3" и също f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Ако "x = 3" и "x0 = 4", тогава Δx = 3-4 = -1. Сега продължаваме да изчисляваме производната на f. Тоест, f '(x) = 1/2 * √x, така че f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Подмяна на всички стойности във формулата, която получавате:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Ако използвате калкулатор, получавате това √3≈1.73205… Това показва, че предишният резултат е добро приближение към реалната стойност.
Второ упражнение
Приблизително √10.
Решение
Както преди, f (x) = √xy е избран като функция, в този случай x = 10.
Стойността на x0 за избор на това време е "x0 = 9". Тогава имаме, че Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 и f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
При оценяване във формулата се получава, че
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…
С помощта на калкулатор се получава, че √10 ≈ 3.1622776… Тук също може да се види, че преди това е получено добро приближение.
Трето упражнение
Приблизително √√10, където ³eno обозначава корен на куба.
Решение
Ясно е, че функцията, която ще се използва в това упражнение, е f (x) = ³√x и стойността на "x" трябва да бъде "10".
Стойност, близка до "10", така че нейният корен на куб е известен, е "x0 = 8". Тогава имаме, че Δx = 10-8 = 2 и f (x0) = f (8) = 2. Също така имаме, че f '(x) = 1/3 * ³√x², и следователно f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Замествайки данните във формулата, се получава, че:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….
Калкулаторът казва, че √√10 ≈ 2.15443469… Следователно намереното приближение е добро.
Четвърто упражнение
Приблизителен ln (1.3), където "ln" означава функцията на естествения логаритъм.
Решение
Първо избираме като функция f (x) = ln (x) и стойността на "x" е 1,3. Сега, знаейки малко за функцията на логаритъм, можем да знаем, че ln (1) = 0, и освен това "1" е близо до "1.3". Следователно се избира "x0 = 1" и по този начин Δx = 1.3 - 1 = 0.3.
От друга страна f '(x) = 1 / x, така че f' (1) = 1. При оценяване по дадената формула имаме:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.
С помощта на калкулатор имаме ln (1.3) ≈ 0.262364… Така че направеното приближение е добро.
Препратки
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Математика на прекалкула. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Прекалкулна математика: подход за решаване на проблеми (2, илюстрирано изд.). Мичиган: зала Prentice.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). Предкалкул (8 изд.). Учене в Cengage.
- Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналитична геометрия. Mérida - Венецуела: Редакция Венезолана CA
- Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисляване (Девето изд.). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Диференциално смятане с ранни трансцендентни функции за науката и инженерството (второ издание изд.). Хипотенуза.
- Скот, Калифорния (2009). Декартова плоска геометрия, част: Аналитични коники (1907 г.) (преиздаване изд.). Източник на мълния.
- Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.