ПРАВОЪГЪЛНИ КОМПОНЕНТИ НА ВЕКТОР (С УПРАЖНЕНИЯ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На правоъгълни компонентите на вектора са данните, които правят, че вектор. За да ги определим, е необходимо да има координатна система, която по принцип е декартовата равнина.

След като имате вектор в координатна система, можете да изчислите неговите компоненти. Това са 2, хоризонтален компонент (успореден на оста X), наречен "компонент на оста X", и вертикален компонент (успореден на оста Y), наречен "компонент на оста Y".

Графично представяне на правоъгълните компоненти на вектор

За да се определят компонентите, е необходимо да се знаят определени данни на вектора, като неговата величина и ъгълът, който той образува с оста X.

Как да определим правоъгълните компоненти на вектор?

За да се определят тези компоненти, трябва да са известни определени връзки между десните триъгълници и тригонометричните функции.

На следващото изображение можете да видите тази връзка.

Връзки между десните триъгълници и тригонометричните функции

Синусът на ъгъл е равен на коефициента между мярката на крака срещу ъгъла и мярката на хипотенузата.

От друга страна, косинусът на ъгъл е равен на коефициента между мярката на крака, съседна на ъгъла, и мярката на хипотенузата.

Допирателната ъгъл е равна на коефициента между мярката на противоположния крак и мярката на съседния крак.

Във всички тези отношения е необходимо да се установи съответният правилен триъгълник.

Има ли други методи?

Да. В зависимост от предоставените данни начинът за изчисляване на правоъгълните компоненти на вектор може да варира. Друг широко използван инструмент е Питагоровата теорема.

Упражнения

Следващите упражнения прилагат на практика определението на правоъгълните компоненти на вектор и връзките, описани по-горе.

Първо упражнение

Известно е, че вектор А има величина равна на 12, а ъгълът, който прави с оста X, има мярка 30 °. Определете правоъгълните компоненти на споменатия вектор А.

Решение

Ако изображението се оцени и се използват описаните по-горе формули, може да се заключи, че компонентът в оста Y на вектор A е равен на

sin (30 °) = Vy / 12, и следователно Vy = 12 * (1/2) = 6.

От друга страна, имаме, че компонентът по оста X на вектор A е равен на

cos (30 °) = Vx / 12 и следователно Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Второ упражнение

Ако вектор A има величина равна на 5 и компонентът по оста x е равен на 4, определете стойността на компонента на A на оста y.

Решение

Използвайки Питагоровата теорема, имаме, че величината на вектор A в квадрат е равна на сумата от квадратите на двата правоъгълни компонента. Тоест M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Замествайки дадените стойности, трябва да

5² = (4) ² + (Vy) ², следователно, 25 = 16 + (Vy) ².

Това означава, че (Vy) ² = 9 и следователно Vy = 3.

Трето упражнение

Ако вектор A има величина равна на 4 и прави ъгъл 45 ° с оста X, определете правоъгълните компоненти на този вектор.

Решение

Използвайки връзките между десен триъгълник и тригонометричните функции, може да се заключи, че компонентът по оста Y на вектор A е равен на

sin (45 °) = Vy / 4 и следователно Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

От друга страна, имаме, че компонентът по оста X на вектор A е равен на

cos (45 °) = Vx / 4, и следователно Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Препратки

1. Landaverde, FD (1997). Геометрия (препечат. Изд.). Прогрес.
2. Leake, D. (2006). Триъгълници (илюстрирано изд.). Хайнеман-Рейнтрий.
3. Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрии. Технологични на CR.
5. Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Pearson Education.