БЕЗКРАЕН НАБОР: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Под безкраен набор се разбира този набор, в който броят на неговите елементи не може да се изчислява. Тоест, колкото и голям да е броят на неговите елементи, винаги е възможно да се намери повече.

Най-честият пример е безкраен набор от естествени числа N. Няма значение колко е голямото число, тъй като винаги можете да получите по-голямо в процес, който няма край:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………………………………}

Фигура 1. Символ на безкрайността. (Pixabay)

Наборът от звезди във Вселената със сигурност е огромен, но не се знае със сигурност дали е краен или безкраен. За разлика от броя на планетите в Слънчевата система, за който се знае, че е ограничен набор.

Свойства на безкрайния набор

Сред свойствата на безкрайните множества можем да посочим следното:

1- Съединението на две безкрайни множества поражда нов безкраен набор.

2- Съединението на краен набор с безкраен създава ново безкрайно множество.

3- Ако подмножеството на даден набор е безкрайно, тогава оригиналният набор също е безкраен. Реципрочното твърдение не е вярно.

Не можете да намерите естествено число, способно да изрази кардиналността или броя на елементите на безкрайния набор. Германският математик Георг Кантор обаче въвежда концепцията за безкрайно число, за да се отнася до безкраен порядък, по-голям от всяко естествено число.

Примери

Естественият N

Най-честият пример за безкраен набор е този на естествените числа. Естествените числа са тези, които се използват за броене, но целите числа, които могат да съществуват, са неизчислими.

Наборът от естествени числа не включва нула и обикновено се обозначава като множеството N, което в обширна форма се изразява, както следва:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} И очевидно е безкраен набор.

Използва се елипса, която показва, че след едно число следва друго, а след това друго в безкраен или безкраен процес.

Множеството естествени числа, съединени с множеството, което съдържа числото нула (0), е известно като множеството N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Което е резултат от обединението на безкрайното множество N с крайното множество O = {0}, което води до безкрайното множество N +.

Целите числа Z

Наборът от цели числа Z се състои от естествени числа, естествени числа с отрицателен знак и нула.

Целите числа Z се считат за еволюция по отношение на естествените числа N, използвани първоначално и примитивно в процеса на преброяване.

В числовия набор Z от цели числа нулата е включена за отчитане или преброяване на нищо и отрицателни числа за броене на извличане, загуба или липса на нещо.

За да илюстрираме идеята, да предположим, че в банковата сметка се появява отрицателно салдо. Това означава, че сметката е под нулата и не само че сметката е празна, но и че има липсваща или отрицателна разлика, която по някакъв начин трябва да бъде заменена на банката.

В обширна форма безкрайният набор Z от цели числа се записва така:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Рационалите Q

В еволюцията на процеса на броене и обмен на неща, стоки или услуги се появяват дробни или рационални числа.

Например, при размяната на половин хляб с две ябълки, по време на записването на транзакцията на някого му хрумна, че половината трябва да бъде написана като една разделена или разделена на две части: ½. Но половината от половината хляб ще бъде записана в книгите, както следва: ½ / ½ = ¼.

Ясно е, че този процес на разделяне може да бъде безкраен на теория, въпреки че на практика това е до достигането на последната частица хляб.

Наборът от рационални (или дробни) числа се обозначава, както следва:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

Елипсата между двете цели числа означава, че между тези две числа или стойности има безкрайни дялове или деления. Ето защо се казва, че множеството рационални числа е безкрайно плътно. Това е така, защото колкото и да са близки две рационални числа един до друг, могат да се намерят безкрайни стойности.

За да илюстрираме горното, да предположим, че от нас се иска да намерим рационално число между 2 и 3. Това число може да бъде 2⅓, което е известно като смесено число, състоящо се от 2 цели части плюс една трета от единицата, което е еквивалентно на писане 4/3.

Между 2 и 2⅓ може да се намери друга стойност, например 2⅙. А между 2 и 2⅙ може да се намери друга стойност, например 2⅛. Между тези две други и между тях още едно, друго и друго.

Фигура 2. Безкрайни деления в рационални числа. (wikimedia commons)

Ирационални числа I

Има числа, които не могат да бъдат записани като деление или дроб на две цели числа. Именно това числово множество е известно като множеството I от ирационални числа и също е безкрайно множество.

Някои забележими елементи или представители на това числово число са числото pi (π), числото на Ойлер (e), златното съотношение или златното число (φ). Тези числа могат да бъдат написани приблизително чрез рационално число:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (и продължава до безкрайност и отвъд…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (и продължава отвъд безкрайността…)

φ = 1.61803398874989484820 …….. (до безкрайност…..и отвъд…..)

Други ирационални числа се появяват при опит да се намерят решения на много прости уравнения, например уравнението X ^ 2 = 2 няма точно рационално решение. Точното решение се изразява със следната симвология: X = √2, която се чете x, равна на корена на две. Приблизителен рационален (или десетичен) израз за √2 е:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Има безброй ирационални числа, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), за да назовем няколко.

Комплектът от риали R

Реалните числа са множеството, което най-често се използва в математическото смятане, физиката и инженерството. Този набор от числа е обединението на рационалните числа Q и ирационалните числа I:

R = Q U I

Безкрайността по-голяма от безкрайността

Сред безкрайните множества някои са по-големи от други. Например, набор от естествени числа N е безкрайна, но е подмножество на числа Z, която е безкрайна, така безкрайно множество Z е по-голяма от безкраен набор N.

По същия начин, набор от числа Z е подмножество на реалния брой R и следователно комплект R е "безкрайност" на безкрайно множество Z.

Препратки

1. Celeberrima. Примери за безкрайни множества. Възстановени от: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). ОСНОВНА МАТА. Въведение в смятане. Lulu.com.
3. Гаро, М. (2014). Математика: квадратични уравнения: Как се решава квадратично уравнение. Марил Гаро.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика за управление и икономика. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
6. Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
7. Rock, NM (2006). Алгебра I е лесна! Толкова е лесно. Team Rock Press.
8. Съливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.
9. Wikipedia. Безкраен набор. Възстановено от: es.wikipedia.com