СФЕРИЧНИ КООРДИНАТИ: ПРИМЕРИ И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

В сферични координати са набор от точки на местоположения в триизмерното пространство, състоящо се от радиални координира и две ъглови координати, наречени полярни координират и по азимут координира.

Фигура 1, която виждаме по-долу, показва сферичните координати (r, θ, φ) на точка М. Тези координати се отнасят до ортогонална система от декартови оси X, Y, Z с произход O.

Фигура 1. Сферични координати (r, θ, φ) на точка M. (wikimedia commons)

В този случай координатата r на точка M е разстоянието от тази точка до началото на O. Полярната координата θ представлява ъгъла между положителната полуоса Z и радиусния вектор OM. Докато азимуталната координата φ е ъгълът между положителната полуоса X и радиусния вектор OM ', където M' е ортогоналната проекция на M върху равнината XY.

Радиалната координата r приема само положителни стойности, но ако точка е разположена в началото, тогава r = 0. Полярната координата θ приема като минимална стойност 0º за точки, разположени върху положителната полуоса Z, а максимална стойност 180º за точките е разположена на отрицателната полуоса Z. Накрая, азимуталната координата φ приема като минимална стойност 0º и максимална височина 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Промяна на координати

Формулите, които позволяват получаване на декартови координати (x, y, z) на точка M, ще бъдат дадени по-долу, като се приемат сферичните координати на същата (r, θ, φ) точка:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

По същия начин е полезно да се намерят отношенията, които да преминават от декартови координати (x, y, z) на дадена точка до сферичните координати на споменатата точка:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Арктан (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Арктан (у / х)

Векторна база в сферични координати

От сферичните координати се определя ортонормална основа на базови вектори, които се означават с Ur, Uθ, Uφ. На фигура 1 са показани тези три единични вектора, които имат следните характеристики:

- Ur е единичен вектор, допиращ се към радиалната линия θ = ctte и φ = ctte;

- Uθ е единичен вектор, допиращ се към дъгата φ = ctte и r = ctte;

- Uφ е единичен вектор, допиращ се към дъгата r = ctte и θ = ctte.

Линии и обемни елементи в сферични координати

Векторът на позицията на точка в пространството в сферични координати се записва така:

r = r Ур

Но безкрайно малко изменение или изместване на точка в триизмерното пространство, в тези координати, се изразява със следното векторно отношение:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

И накрая, безкрайно малък обем dV в сферични координати се записва така:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Тези отношения са много полезни за изчисляване на линейни и обемни интеграли във физически ситуации, които имат сферична симетрия.

Връзка с географски координати

Под географски координати се разбират тези, които служат за намиране на места по земната повърхност. Тази система използва координатите на географската ширина и дължина, за да локализира положението на повърхността на Земята.

В географската координатна система се приема, че земната повърхност е сферична с радиус Rt, въпреки че е известно, че е сплескана на полюсите и се разглежда набор от въображаеми линии, наречени паралели и меридиани.

Фигура 2. Географска дължина α и географска ширина β на наблюдател на земната повърхност.

Широчината β е ъгъл, образуван от радиус, който започва от центъра на Земята до точката, която искате да позиционирате. Тя се измерва от екваториалната равнина, както е показано на фигура 2. От друга страна, дължината α е ъгълът, който меридианът на точката, която се намира, образува по отношение на нулевия меридиан (известен като меридиан на Гринуич).

Широчината може да бъде северна или южна ширина, в зависимост от това дали мястото, което намирате, е в северното или южното полукълбо. По същия начин дължината може да бъде запад или изток в зависимост от това дали местоположението е западно или източно от нулевия меридиан.

Формули за промяна от географски към сферични

За да се получат тези формули, първото нещо е да се създаде координатна система. Плоскостта XY е избрана така, че да съвпада с екваториалната равнина, като положителната X полуоса е тази, която тръгва от центъра на Земята и преминава през нулевия меридиан. От своя страна оста Y преминава през меридиана 90º Е. Земната повърхност има радиус Rt.

С тази координатна система трансформациите от географски в сферични изглеждат така:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Примери

Пример 1

Географските координати на Палма де Майорка (Испания) са:

Източна дължина 38.847º и северна ширина 39.570º. За да определите сферичните координати, съответстващи на Палма де Майорка, се прилага първата от формулите на формулите в предишния раздел:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Значи сферичните координати са:

Палма де Майорка: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

В предишния отговор r е взето равно на средния радиус на Земята.

Пример 2

Като знаете, че островите Малвинас (Фолкланд) имат географски координати 59ºO 51,75ºS, определете съответните полярни координати. Помнете, че оста X минава от центъра на Земята до меридиана 0º и в екваториалната равнина; оста Y също в екваториалната равнина и преминаваща през 90 ° западен меридиан; накрая оста Z на ос на въртене на Земята в посока юг-север.

За да намерим съответните сферични координати използваме формулите, представени в предишния раздел:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), т.е.

Малвини: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Упражнения

Упражнение 1

Намерете декартовите координати на Палма де Майорка в референтната система XYZ на декарто, показана на фигура 2.

Решение: Преди това в пример 1 сферичните координати бяха получени, като се започне от географските координати на Палма де Майорка. Така формулите, представени по-горе, могат да бъдат използвани за преминаване от сферични към декартови:

x = 6371 км Sen (50.43º) Cos (38.85º)

y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º)

z = 6371 км Cos (50.43º)

Извършвайки съответните изчисления имаме:

Палма де Майорка: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Упражнение 2

Намерете декартовите координати на Фолклендските острови в референтната система XYZ на декар, показана на фигура 2.

Решение: Преди това в пример 2 са получени сферичните координати, като се започне от географските координати на Малвинските острови. Така формулите, представени по-горе, могат да бъдат използвани за преминаване от сферични към декартови:

x = 6371 км Sen (141.75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141.75º) Sen (301º)

z = 6371 км Cos (141.75º)

Извършвайки съответните изчисления, получаваме:

Фолкландски острови: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Препратки

1. Arfken G и Weber H. (2012). Математически методи за физици. Изчерпателно ръководство. 7-мо издание. Академична преса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Изчисляване cc Решени задачи на цилиндрични и сферични координати. Възстановена от: Calculo.cc
3. Астрономическа работилница. Географска ширина и дължина. Възстановени от: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Сферични координати." От мрежата на MathWorld-A Wolfram. Възстановени от: mathworld.wolfram.com
5. Уикипедия. Сферична координатна система. Възстановено от: en.wikipedia.com
6. Уикипедия. Векторни полета в цилиндрични и сферични координати. Възстановено от: en.wikipedia.com