- Промяна на координати
- Векторна база в сферични координати
- Линии и обемни елементи в сферични координати
- Връзка с географски координати
- Формули за промяна от географски към сферични
- Примери
- Пример 1
- Пример 2
- Упражнения
- Упражнение 1
- Упражнение 2
- Препратки
В сферични координати са набор от точки на местоположения в триизмерното пространство, състоящо се от радиални координира и две ъглови координати, наречени полярни координират и по азимут координира.
Фигура 1, която виждаме по-долу, показва сферичните координати (r, θ, φ) на точка М. Тези координати се отнасят до ортогонална система от декартови оси X, Y, Z с произход O.

Фигура 1. Сферични координати (r, θ, φ) на точка M. (wikimedia commons)
В този случай координатата r на точка M е разстоянието от тази точка до началото на O. Полярната координата θ представлява ъгъла между положителната полуоса Z и радиусния вектор OM. Докато азимуталната координата φ е ъгълът между положителната полуоса X и радиусния вектор OM ', където M' е ортогоналната проекция на M върху равнината XY.
Радиалната координата r приема само положителни стойности, но ако точка е разположена в началото, тогава r = 0. Полярната координата θ приема като минимална стойност 0º за точки, разположени върху положителната полуоса Z, а максимална стойност 180º за точките е разположена на отрицателната полуоса Z. Накрая, азимуталната координата φ приема като минимална стойност 0º и максимална височина 360º.
0 ≤ r <∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ <360º
Промяна на координати
Формулите, които позволяват получаване на декартови координати (x, y, z) на точка M, ще бъдат дадени по-долу, като се приемат сферичните координати на същата (r, θ, φ) точка:
x = r Sen (θ) Cos (φ)
y = r Sen (θ) Sen (φ)
z = r Cos (θ)
По същия начин е полезно да се намерят отношенията, които да преминават от декартови координати (x, y, z) на дадена точка до сферичните координати на споменатата точка:
r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
θ = Арктан (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)
φ = Арктан (у / х)
Векторна база в сферични координати
От сферичните координати се определя ортонормална основа на базови вектори, които се означават с Ur, Uθ, Uφ. На фигура 1 са показани тези три единични вектора, които имат следните характеристики:
- Ur е единичен вектор, допиращ се към радиалната линия θ = ctte и φ = ctte;
- Uθ е единичен вектор, допиращ се към дъгата φ = ctte и r = ctte;
- Uφ е единичен вектор, допиращ се към дъгата r = ctte и θ = ctte.
Линии и обемни елементи в сферични координати
Векторът на позицията на точка в пространството в сферични координати се записва така:
r = r Ур
Но безкрайно малко изменение или изместване на точка в триизмерното пространство, в тези координати, се изразява със следното векторно отношение:
d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ
И накрая, безкрайно малък обем dV в сферични координати се записва така:
dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ
Тези отношения са много полезни за изчисляване на линейни и обемни интеграли във физически ситуации, които имат сферична симетрия.
Връзка с географски координати
Под географски координати се разбират тези, които служат за намиране на места по земната повърхност. Тази система използва координатите на географската ширина и дължина, за да локализира положението на повърхността на Земята.
В географската координатна система се приема, че земната повърхност е сферична с радиус Rt, въпреки че е известно, че е сплескана на полюсите и се разглежда набор от въображаеми линии, наречени паралели и меридиани.

Фигура 2. Географска дължина α и географска ширина β на наблюдател на земната повърхност.
Широчината β е ъгъл, образуван от радиус, който започва от центъра на Земята до точката, която искате да позиционирате. Тя се измерва от екваториалната равнина, както е показано на фигура 2. От друга страна, дължината α е ъгълът, който меридианът на точката, която се намира, образува по отношение на нулевия меридиан (известен като меридиан на Гринуич).
Широчината може да бъде северна или южна ширина, в зависимост от това дали мястото, което намирате, е в северното или южното полукълбо. По същия начин дължината може да бъде запад или изток в зависимост от това дали местоположението е западно или източно от нулевия меридиан.
Формули за промяна от географски към сферични
За да се получат тези формули, първото нещо е да се създаде координатна система. Плоскостта XY е избрана така, че да съвпада с екваториалната равнина, като положителната X полуоса е тази, която тръгва от центъра на Земята и преминава през нулевия меридиан. От своя страна оста Y преминава през меридиана 90º Е. Земната повърхност има радиус Rt.
С тази координатна система трансформациите от географски в сферични изглеждат така:
αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)
αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)
αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)
αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)
Примери
Пример 1
Географските координати на Палма де Майорка (Испания) са:
Източна дължина 38.847º и северна ширина 39.570º. За да определите сферичните координати, съответстващи на Палма де Майорка, се прилага първата от формулите на формулите в предишния раздел:
38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)
Значи сферичните координати са:
Палма де Майорка: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)
В предишния отговор r е взето равно на средния радиус на Земята.
Пример 2
Като знаете, че островите Малвинас (Фолкланд) имат географски координати 59ºO 51,75ºS, определете съответните полярни координати. Помнете, че оста X минава от центъра на Земята до меридиана 0º и в екваториалната равнина; оста Y също в екваториалната равнина и преминаваща през 90 ° западен меридиан; накрая оста Z на ос на въртене на Земята в посока юг-север.
За да намерим съответните сферични координати използваме формулите, представени в предишния раздел:
59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), т.е.
Малвини: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)
Упражнения
Упражнение 1
Намерете декартовите координати на Палма де Майорка в референтната система XYZ на декарто, показана на фигура 2.
Решение: Преди това в пример 1 сферичните координати бяха получени, като се започне от географските координати на Палма де Майорка. Така формулите, представени по-горе, могат да бъдат използвани за преминаване от сферични към декартови:
x = 6371 км Sen (50.43º) Cos (38.85º)
y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º)
z = 6371 км Cos (50.43º)
Извършвайки съответните изчисления имаме:
Палма де Майорка: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)
Упражнение 2
Намерете декартовите координати на Фолклендските острови в референтната система XYZ на декар, показана на фигура 2.
Решение: Преди това в пример 2 са получени сферичните координати, като се започне от географските координати на Малвинските острови. Така формулите, представени по-горе, могат да бъдат използвани за преминаване от сферични към декартови:
x = 6371 км Sen (141.75º) Cos (301º)
y = 6371 km Sen (141.75º) Sen (301º)
z = 6371 км Cos (141.75º)
Извършвайки съответните изчисления, получаваме:
Фолкландски острови: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)
Препратки
- Arfken G и Weber H. (2012). Математически методи за физици. Изчерпателно ръководство. 7-мо издание. Академична преса. ISBN 978-0-12-384654-9
- Изчисляване cc Решени задачи на цилиндрични и сферични координати. Възстановена от: Calculo.cc
- Астрономическа работилница. Географска ширина и дължина. Възстановени от: tarifamates.blogspot.com/
- Weisstein, Eric W. "Сферични координати." От мрежата на MathWorld-A Wolfram. Възстановени от: mathworld.wolfram.com
- Уикипедия. Сферична координатна система. Възстановено от: en.wikipedia.com
- Уикипедия. Векторни полета в цилиндрични и сферични координати. Възстановено от: en.wikipedia.com
