ПРАВОЪГЪЛНИ КООРДИНАТИ: ПРИМЕРИ И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В правоъгълни координати или Декартова са тези, които са получени на ортогонално стърчащи трите декартови оси X, Y, Z точка, разположена в три - тримерно пространство.

Декартовите оси са взаимно ориентирани линии, перпендикулярни една на друга. В декартовата координатна система на всяка точка в пространството се присвояват три реални числа, които са нейни правоъгълни координати.

Фигура 1. Правоъгълни координати на точка P (Собствена изработка)

Самолетът е подпространство от триизмерно пространство. В случай на разглеждане на точки на равнина, тогава е достатъчно да изберете двойка перпендикулярни оси X, Y като декартова система. След това на всяка точка от равнината се присвояват две реални числа, които са нейните правоъгълни координати.

Произход на правоъгълни координати

Правоъгълните координати първоначално са предложени от френския математик Рене Декарт (1596 и 1650), поради което те се наричат ​​декартови.

С тази идея на Декарт точките на равнината и пространството са присвоени числа, така че геометричните фигури да имат свързано алгебраично уравнение и класическите геометрични теореми да могат да бъдат доказани алгебрично. С декартовите координати се ражда аналитичната геометрия.

Декартовата равнина

Ако в равнина са избрани две перпендикулярни линии, които се пресичат в точка O; и ако в допълнение, на всеки ред е присвоена посока и числова скала между последователни еднакви разстояния точки, тогава има декартова система или равнина, в която всяка точка на равнината е свързана с подредена двойка от две реални числа, които са техните проекции съответно на осите X и Y

Точките A = (3, 2); B = (- 2, 3); С = (- 2, -3) и D = (3, -3) са представени в декартовата равнина, както е показано по-долу:

Фигура 2. Точки в декартовата равнина. (Собствена разработка)

Обърнете внимание, че двете оси X и Y разделят равнината на четири сектора, наречени квадранти. Точка А е в първия квадрант, точка В е във втория квадрант, точка В е в третия квадрант, а точка D е в четвъртия квадрант.

Разстояние между две точки

Разстоянието между две точки А и В на декартовата равнина е дължината на сегмента, който ги съединява. Това разстояние може да се изчисли аналитично, както следва:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Горната формула се получава чрез прилагане на теоремата на Питагора.

Прилагайки тази формула към точки A, B на фигура 2, имаме:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Тоест d (A, B) = 5,10 единици. Обърнете внимание, че разстоянието е получено без необходимост от измерване с владетел, е спазена напълно алгебрична процедура.

Аналитичен израз на линия

Правоъгълните координати позволяват аналитично представяне на основни геометрични обекти като точката и линията. Две точки A и B определят една линия. Наклонът на линията се определя като коефициентът между разликата на Y координатите на точка B минус A, разделен на разликата на X координатите на точка B минус A:

наклон = (By - Ay) / (Bx - Axe)

Всяка точка P от координати (x, y), която принадлежи на линията (AB), трябва да има същия наклон:

наклон = (у - Ай) / (х - ос)

Уравнението, което се получава чрез равенството на наклоните, е аналитичното или алгебрично представяне на линията, която преминава през точки А и В:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Axe).

Ако вземем за A и B правоъгълните координати от фигура 2 имаме:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(у - 2) / (х - 3) = -⅕

В този конкретен случай имаме линия с отрицателен наклон -⅕, което означава, че чрез локализиране на точка на линията и увеличаване на x-координатата с една единица, y-координатата намалява с 0,2 единици.

Най-често срещаният начин да се напише уравнението на линията в равнината е с изчистена координата y като функция на променливата x:

y = - (1/5) x + 13/5

Примери

Пример 1

Получавайте чрез аналитични методи разстоянието между точките С и А, като правоъгълните координати на С = (-2, -3) и тези на А = (3,2).

Формулата за евклидовото разстояние между тези две точки е написана така:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Замествайки съответните им правоъгълни координати имаме:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Пример 2

Получете уравнението на линията, която преминава през точка С на координатите (-2, -3) и точка Р на координатите (2, 0).

Първо се получава наклонът на линията CP:

наклон = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Всяка точка Q от общи правоъгълни координати (x, y), която принадлежи на линията CP, трябва да има същия наклон:

наклон = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

С други думи, уравнението на линията CP е:

(y +3) / (x +2) = ¾

Алтернативен начин да се напише уравнението на линията CP е решаване за y:

y = ¾ x - 3/2

Решени упражнения

Упражнение 1

Получете правоъгълните координати на точката на пресичане между линиите y = - (1/5) x + 13/5 и линията y = ¾ x - 3/2.

Решение: По дефиниция точката на пресичане на двете линии споделят едни и същи правоъгълни координати. Следователно, y-координатите в точката на пресичане са идентични и за двете линии:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

което води до следния израз:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

решаване на сумата от дроби, които получаваме

19/20 х = 41/10

Решаване за х:

x = 82/19 = 4,32

За да се получи y стойността на пресичането, получената стойност x се замества във всеки от линиите:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Това означава, че дадените линии се пресичат в точката I на координатите I = (4.32, 1.74).

Упражнение 2

Получете уравнението на обиколката, която преминава през точката R на правоъгълни координати (3, 4) и която има своя център в началото на координатите.

Решение: Радиусът R е разстоянието от точка R до началото на координатите (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Тоест, това е кръг с радиус 5, центриран в (0,0).

Всяка точка P (x, y) от обиколката трябва да има същото разстояние 5 от центъра (0, 0), за да може да бъде написано:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Това означава:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

За да премахнете квадратния корен, и двата члена на равенството се поставят в квадрат, получавайки:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Какво е уравнението на обиколката.

Този пример илюстрира силата на правоъгълната координатна система, която позволява да се определят геометрични обекти, като обиколката, без да е необходимо да се използват хартия, молив и компас. Исканата обиколка е определена единствено чрез алгебрични методи.

Препратки

1. Arfken G и Weber H. (2012). Математически методи за физици. Изчерпателно ръководство. 7-мо издание. Академична преса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Изчисляване cc Решени задачи с правоъгълни координати. Възстановена от: Calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Декартови координати." От мрежата на MathWorld-A Wolfram. Възстановени от: mathworld.wolfram.com
4. Уикипедия. Декартова координатна система. Възстановено от: en.wikipedia.com