НЕЗАВИСИМИ СЪБИТИЯ: ДЕМОНСТРАЦИЯ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДА - 2025

Две събития са независими, когато вероятността едно от тях да се случи не се влияе от факта, че другото се случва - или не се случва - като се има предвид, че тези събития се случват случайно.

Това обстоятелство се случва винаги, когато процесът, генериращ резултата от събитие 1, не променя по никакъв начин вероятността от възможните резултати от събитие 2. Но ако това не се случи, се казва, че събитията са зависими.

Фигура 1. Цветните мрамори често се използват за обяснение на вероятността от независими събития. Източник: Pixabay

Независима ситуация на събитието е следната: Да предположим, че са навити два шестстранни зарчета, едната синя, а другата розова. Вероятността 1 да се търкаля върху синята матрица е независима от вероятността 1 да се търкаля или да не се търкаля върху розовата матрица.

Друг случай на две независими събития е случаят с хвърляне на монета два пъти подред. Резултатът от първото хвърляне няма да зависи от резултата от второто и обратно.

Доказателство за две независими събития

За да проверим дали две събития са независими, ще дефинираме концепцията за условна вероятност на едно събитие по отношение на друго. За това е необходимо да се прави разлика между изключителни събития и приобщаващи събития:

Две събития са изключителни, ако възможните стойности или елементи на събитие А нямат нищо общо със стойностите или елементите на събитие Б.

Следователно в две изключителни събития множеството на пресечната точка на A с B е вакуумът:

Изключване на събития: A∩B = Ø

Напротив, ако събитията са приобщаващи, може да се случи, че резултат от събитие А също съвпада с този на друго Б, като А и Б са различни събития. В такъв случай:

Приобщаващи събития: A∩B ≠ Ø

Това ни кара да определим условната вероятност от две приобщаващи събития, с други думи, вероятността от настъпване на събитие А, винаги, когато се случи събитие Б:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Следователно, условната вероятност е вероятността А и В да се случи разделена на вероятността, че Б. ще се случи. Вероятността, че B ще възникне условно на А, също може да бъде определена:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Критерии да знаете дали две събития са независими

След това ще дадем три критерия, за да разберем дали две събития са независими. Достатъчно е едно от трите да бъде изпълнено, за да бъде демонстрирана независимостта на събитията.

1.- Ако вероятността, че A се появява всеки път, когато се появи B, е равна на вероятността на A, тогава те са независими събития:

P (A¦B) = P (A) => A е независим от B

2.- Ако вероятността, че B се появи дадена A, е равна на вероятността от B, тогава има независими събития:

P (B¦A) = P (B) => B е независим от A

3.- Ако вероятността, че А и В се случват, е равна на произведението на вероятността, че А възниква, и вероятността, че В се случва, тогава те са независими събития. Обратното също е вярно.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A и B са независими събития.

Примери за независими събития

Сравняват се гумените подметки, произведени от двама различни доставчици. Пробите от всеки производител се подлагат на няколко изпитвания, от които се прави извод независимо дали те са в рамките на спецификациите.

Фигура 2. Разнообразие от гумени подметки. Източник: Pixabay

Полученото обобщение на 252 проби е, както следва:

Производител 1; 160 отговарят на спецификациите; 8 не отговарят на спецификациите.

Производител 2; 80 отговарят на спецификациите; 4 не отговарят на спецификациите.

Събитие А: „че пробата е от производител 1“.

Събитие Б: "че пробата отговаря на спецификациите."

Искаме да знаем дали тези събития А и Б са независими или не, за които прилагаме един от трите критерия, споменати в предишния раздел.

Критерий: P (B¦A) = P (B) => B е независим от A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

Извод: Събитията А и Б са независими.

Да предположим, че събитие В: "че пробата идва от производител 2"

Дали събитие B ще бъде независимо от събитие C?

Прилагаме един от критериите.

Критерий: P (B¦C) = P (B) => B е независим от C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

Следователно въз основа на наличните данни вероятността произволно избраната гумена подметка да отговаря на спецификациите не зависи от производителя.

Преобразувайте независимо събитие в зависимо събитие

Нека разгледаме следния пример, за да разграничим зависимите и независимите събития.

Имаме торба с две топки от бял шоколад и две черни топки. Вероятността да получите бяла или черна топка е равна при първия опит.

Да предположим, че резултатът беше бияч. Ако изтеглената топка бъде заменена в торбата, първоначалната ситуация се повтаря: две бели топки и две черни топки.

Така че при второ събитие или теглене, шансовете да нарисувате бияч или черна топка са идентични с първия път. Следователно те са независими събития.

Но ако топката-бияч, изтеглена в първото събитие, не бъде заменена, защото сме я изяли, във второто теглене има по-големи шансове да нарисувате черна топка. Вероятността втората екстракция отново да получи бяло е различна от тази на първото събитие и се обуславя от предишния резултат.

Упражнения

- Упражнение 1

В кутия поставяме 10-те мрамора от фигура 1, от които 2 са зелени, 4 са сини и 4 са бели. Два мрамора ще бъдат избрани на случаен принцип, един първи и един по-късно. Изисква се да намери

вероятността никой от тях да не е син при следните условия:

а) Със замяна, тоест връщане на първия мрамор преди втория избор в кутията. Посочете дали са независими или зависими събития.

б) Без подмяна по такъв начин, че първият изваден мрамор да бъде оставен извън кутията в момента на извършване на втория избор. По същия начин посочете дали са зависими или независими събития.

Решение за

Изчисляваме вероятността първият изваден мрамор да не е син, което е 1 минус вероятността да е син P (A) или директно, че не е син, защото излезе зелен или бял:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (не синьо) = 1 - (2/5) = 3/5

О, добре:

P (зелен или бял) = 6/10 = 3/5.

Ако извлеченият мрамор се върне, всичко е както преди. При това второ теглене има и 3/5 вероятност изтегленият мрамор да не е син.

P (не синьо, не синьо) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Събитията са независими, тъй като извлеченият мрамор е върнат в кутията и първото събитие не влияе на вероятността за поява на второто.

Решение b

За първото извличане продължете както в предишния раздел. Вероятността да не е синя е 3/5.

За втората екстракция имаме 9 мрамора в торбата, тъй като първата не се върна, но не беше синя, следователно в торбата има 9 мрамора и 5 не сини:

P (зелен или бял) = 5/9.

P (никой не е син) = P (първо не е син). P (второ не е синьо / първо не е синьо) = (3/5). (5/9) = 1/3

В този случай те не са независими събития, тъй като първото събитие обуславя второто.

- Упражнение 2

Магазинът разполага с 15 ризи в три размера: 3 малки, 6 средни и 6 големи. 2 ризи са избрани на случаен принцип.

а) Каква е вероятността и двете избрани ризи да са малки, ако една се вземе първо и без да се замени друга в партидата?

б) Каква е вероятността и двете избрани ризи да са малки, ако едната е нарисувана първа, е заменена в партидата, а втората е премахната?

Решение за

Ето две събития:

Събитие А: първата избрана риза е малка

Събитие Б: втората избрана риза е малка

Вероятността да се случи събитие А е: P (A) = 3/15

Вероятността да се случи събитие B е: P (B) = 2/14, тъй като ризата вече е била свалена (останали са 14), но също така и събитието A иска да бъде изпълнено, първата свалена риза трябва да е малка и следователно и двете са 2 малки.

Тоест вероятността A и B да бъде произведена от вероятностите е:

P (A и B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Следователно, вероятността за възникване на събитие A и B е равна на произведението, на което се случва събитие A, пъти по-голямо от вероятността, че събитие B се случва, ако събитие A.

Трябва да бъде отбелязано че:

P (B¦A) = 2/14

Вероятността събитие B да се случи, независимо от това дали събитие А се случва или не, ще бъде:

P (B) = (2/14), ако първата е малка, или P (B) = 3/14, ако първата не е малка.

Като цяло може да се заключи следното:

P (B¦A) не е равно на P (B) => B не е независимо от A

Решение b

Отново има две събития:

Събитие А: първата избрана риза е малка

Събитие Б: втората избрана риза е малка

P (A) = 3/15

Не забравяйте, че какъвто и да е резултатът, ризата, изтеглена от партидата, се заменя и отново риза се изтегля произволно. Вероятността да се случи събитие B, ако събитие А се е случило е:

P (B¦A) = 3/15

Вероятността да се случат събития A и B ще бъде:

P (A и B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Забележи, че:

P (B¦A) е равно на P (B) => B е независим от A.

- Упражнение 3

Помислете за две независими събития A и B. Известно е, че вероятността събитие A да се случи е 0,2, а вероятността от събитие B да е 0,3. Каква е вероятността да се случат и двете събития?

Решение 2

Знаейки, че събитията са независими, известно е, че вероятността двете събития да се случат е продукт на индивидуалните вероятности. Тоест, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Обърнете внимание, че е вероятност далеч по-малка от вероятността всяко събитие да се случи, независимо от резултата от другото. Или казано по друг начин, много по-нисък от индивидуалните коефициенти.

Препратки

1. Berenson, M. 1985. Статистика за управление и икономика. Interamericana SA 126-127.
2. Институт Монтерей. Вероятност за независими събития. Възстановено от: monterreyinstitute.org
3. Учител по математика. Независими събития. Възстановено от: youtube.com
4. Superprof. Видове събития, зависими събития. Възстановени от: superprof.es
5. Виртуален учител. Вероятност. Възстановена от: vitutor.net
6. Wikipedia. Независимост (вероятност). Възстановено от: wikipedia.com