СЛУЧАЙНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ: КОНЦЕПЦИЯ, ПРИМЕРНО ПРОСТРАНСТВО, ПРИМЕРИ - ДУДА - 2025

Говорим за случаен експеримент, когато резултатът от всяко конкретно изпитване е непредсказуем, въпреки че вероятността от възникване на определен резултат може да бъде установена.

Трябва обаче да се изясни, че не е възможно да се възпроизведе един и същ резултат от произволна система със същите параметри и първоначални условия при всяко изпитване на експеримента.

Фигура 1. Ролката на заровете е случаен експеримент. Източник: Pixabay

Добър пример за случаен експеримент е търкалянето на матрица. Дори да се внимава да се търкаля матрицата по същия начин, всеки опит ще даде непредсказуем резултат. Всъщност единственото, което може да се каже е, че резултатът може да бъде един от следните: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Хвърлянето на монета е друг пример за случаен експеримент със само два възможни резултата: глави или опашки. Въпреки че монетата е хвърлена от една и съща височина и по същия начин, факторът на шанса винаги ще присъства, което води до несигурност при всеки нов опит.

Обратното на случаен експеримент е детерминиран експеримент. Например, известно е, че всеки път, когато водата се вари на морско ниво, температурата на кипене е 100ºC. Но никога не се случва, че при същите условия резултатът понякога е 90 ºC, други 12 0ºC и понякога 100 ºC.

Примерно пространство

Наборът от всички възможни резултати от случаен експеримент се нарича пробно пространство. При случайния експеримент с валцуване на матрица, пробното пространство е:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

От друга страна, при хвърлянето на монета пространството за проба е:

M = {глави, опашки}.

Събитие или събитие

При случаен експеримент събитието е възникване или не на определен резултат. Например, в случай на обръщане на монета, събитие или събитие е, че тя излиза нагоре.

Друго събитие в случаен експеримент може да бъде следното: че число, по-малко или равно на три, се навива на матрица.

В случай, че събитието се случи, тогава набор от възможни резултати е набор:

E = {1, 2, 3}

От своя страна това е подмножество от примерното пространство или набор:

М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Примери

По-долу са дадени няколко примера, които илюстрират горното:

Пример 1

Да предположим, че две монети са хвърлени, една след друга. Той пита:

а) Посочете дали е случаен експеримент или, напротив, детерминиран експеримент.

b) Какво е примерното пространство S на този експеримент?

в) Посочете набора от събитие А, съответстващ на факта, че експериментът води до глави и опашки.

г) Изчислете вероятността да се случи събитие А.

д) Накрая, намерете вероятността да се случи събитие Б: в резултата не се появяват глави.

Решение

Чанта съдържа 10 бели мрамора и 10 черни мрамора. Три мрамора последователно се изтеглят от торбата произволно и без да се гледа вътре.

а) Определете пространството на извадката за този случаен експеримент.

б) Определете набора от резултати, съответстващи на събитие А, който се състои в това, че след експеримента има две черни мрамори.

в) Събитие Б е да се получат най-малко два черни мрамора, да се определи наборът от резултати В за това събитие.

г) Каква е вероятността да се случи събитие А?

д) Намерете вероятността от настъпване на събитие Б.

е) Определете вероятността резултатът от случайния експеримент да имате поне един черен мрамор. Това събитие ще се казва С.

Фигура 2. Черни и бели мрамори за произволни експерименти. Източник: Needpix

Решение за

За конструиране на примерното пространство е полезно да се направи дърво диаграма, като тази, показана на фигура 3:

Фигура 3. Диаграма на дърво например 2. Изготвена от Фани Сапата.

Наборът Ω на възможни резултати от извличане на три мрамора от торба със същия брой черни и бели мрамори, е именно примерното пространство на този случаен експеримент.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Решение b

Наборът от възможни резултати, съответстващи на събитие А, който се състои от две черни мрамора, е:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Решение c

Събитие Б се дефинира като: „има най-малко два черни мрамора, след като е начертал произволно три от тях. Наборът от възможни резултати за събитие Б е:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Решение г

Вероятността да има събитие А е коефициентът между броя на възможните резултати за това събитие и общия брой възможни резултати, тоест броя на елементите в извадковото пространство.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Така че има 37,5% вероятност да има два черни мрамора след произволно извличане на три мрамора от торбата. Но имайте предвид, че по никакъв начин не можем да предвидим точния резултат от експеримента.

Решение e

Вероятността да се случи събитие Б, състоящо се от получаване на поне един черен мрамор, е:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Това означава, че възможността събитието B да се случи е равно на вероятността да не се случи.

Решение f

Вероятността да получите поне един черен мрамор, след като нарисувате три от тях, е равна на 1 минус вероятността резултатът да бъде „трите бели мрамора“.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%

Сега можем да проверим този резултат, като отбележим, че броят на възможностите, на които се случва събитието C, е равен на броя на елементите от възможните резултати за събитието C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

n (С) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Препратки

1. CanalPhi. Случайни експерименти. Възстановено от: youtube.com.
2. MateMovil. Случайни експерименти. Възстановено от: youtube.com
3. Pishro Nick H. Въведение в вероятността. Възстановени от: вероятностен курс.com
4. Рос. Вероятност и статистика за инженерите. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Експеримент (теория на вероятностите). Възстановено от: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Детерминирано събитие. Възстановени от: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Случайни експерименти. Възстановено от: es.wikipedia.com