НУЛЕВ ЪГЪЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В ъгъла нула е един чиято мярка е 0, както в градуси и в радиани или друга система за измерване на ъгъл. Следователно липсва ширина или отваряне, като това, образувано между две успоредни линии.

Въпреки че определението му звучи достатъчно просто, нулевият ъгъл е много полезен в много физически и инженерни приложения, както и в навигацията и дизайна.

Фигура 1. Между скоростта и ускорението на колата има нулев ъгъл, следователно колата върви все по-бързо и по-бързо. Източник: Wikimedia Commons.

Има физически количества, които трябва да бъдат приведени в съответствие в паралел за постигане на определени резултати: ако един автомобил се движи в права линия по протежение на магистрала и между скоростта му вектор V и неговото ускорение вектор на има 0º, се движи колата по-бързо и по-бързо, но ако колата спирачки, неговото ускорение е противоположно на скоростта му (виж фигура 1).

Следващата фигура показва различни видове ъгъл, включително нулев ъгъл вдясно. Както се вижда, ъгълът 0 ° няма широчина или отваряне.

Фигура 2. Типове ъгли, включително нулевия ъгъл. Източник: Wikimedia Commons. Orias.

Примери за нулеви ъгли

Известни са паралелни линии, които образуват нулев ъгъл помежду си. Когато имате хоризонтална линия, тя е успоредна на оста x на декартовата координатна система, следователно нейният наклон спрямо нея е 0. С други думи, хоризонталните линии имат нулев наклон.

Фигура 3. Хоризонталните линии имат нулев наклон. Източник: Ф. Сапата.

Също така тригонометричните съотношения на нулевия ъгъл са 0, 1 или безкрайност. Следователно нулевият ъгъл присъства в много физически ситуации, които включват операции с вектори. Тези причини са:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-сек 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

И ще бъдат полезни за анализ на някои примери за ситуации, в които наличието на нулевия ъгъл играе основна роля:

- Ефекти на нулевия ъгъл върху физичните величини

Векторно допълнение

Когато два вектора са успоредни, ъгълът между тях е нулев, както се вижда на фигура 4а по-горе. В този случай сумата от двете се осъществява чрез поставяне една след друга, а величината на сумата на вектора е сумата от величините на добавките (фигура 4б).

Фигура 4. Сума от паралелни вектори, в този случай ъгълът между тях е нулев ъгъл. Източник: Ф. Сапата.

Когато два вектора са успоредни, ъгълът между тях е нулев, както се вижда на фигура 4а по-горе. В този случай сумата от двете се извършва чрез поставяне една след друга, а величината на сумата на вектора е сумата от величините на добавките (фигура 4б)

Въртящият момент или въртящият момент

Въртящият момент или въртящият момент предизвиква въртене на тяло. Зависи от големината на приложената сила и как се прилага. Много представителен пример е гаечен ключ на фигурата.

За да се постигне най-добрият ефект на завъртане, силата се прилага перпендикулярно на дръжката на гаечния ключ или нагоре или надолу, но не се очаква въртене, ако силата е успоредна на ръкохватката.

Фигура 5. Когато ъгълът между векторите за положение и сила е нулев, не се получава въртящ момент и следователно няма въртящ ефект. Източник: Ф. Сапата.

Математически въртящият момент τ се определя като векторно произведение или напречен продукт между векторите r (вектор на положение) и F (вектор на сила) от фигура 5:

τ = r x F

Големината на въртящия момент е:

τ = r F sin θ

Θ е ъгълът между R и F. Когато sin θ = 0 въртящият момент е нула, в този случай θ = 0º (или също 180 °).

Поток на електрическо поле

Потокът на електрическото поле е скаларно количество, което зависи от интензивността на електрическото поле, както и от ориентацията на повърхността, през която преминава.

На фигура 6 има кръгова повърхност на област А, през който електрически силови линии Е прохода. Ориентацията на повърхността се дава от нормалния вектор n. Вляво полето и нормалният вектор образуват произволен остър ъгъл θ, в центъра образуват нулев ъгъл един с друг, а вдясно те са перпендикулярни.

Когато E и n са перпендикулярни, полевите линии не пресичат повърхността и следователно потокът е нула, докато когато ъгълът между E и n е нула, линиите напълно пресичат повърхността.

Означавайки потока на електрическото поле с гръцката буква Φ (четете „fi“), неговото определение за еднородно поле, както е на фигурата, изглежда така:

Φ = E • n A

Точката в средата на двата вектора означава точков продукт или скаларен продукт, който е алтернативно дефиниран, както следва:

Φ = E • n A = EAcosθ

Удебеленият шрифт и стрелките над буквата са ресурси за разграничаване между вектор и неговата величина, което се обозначава с нормални букви. Тъй като cos 0 = 1, потокът е максимален, когато E и n са успоредни.

Фигура 6. Потокът на електрическото поле зависи от ориентацията между повърхността и електрическото поле. Източник: Ф. Сапата.

Упражнения

- Упражнение 1

Две сили P и Q действат едновременно върху точков обект X, като двете сили първоначално образуват ъгъл θ между тях. Какво се случва с величината на получената сила, когато θ намалява до нула?

Фигура 7. Ъгълът между две сили, които действат върху дадено тяло, намалява, докато не бъде отменен, в този случай величината на получената сила придобива своята максимална стойност. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Величината на получената сила Q + P нараства постепенно, докато е максимална, когато Q и P са напълно успоредни (фигура 7 вдясно).

- Упражнение 2

Посочете дали нулевият ъгъл е решение на следното тригонометрично уравнение:

Решение

Тригонометрично уравнение е това, при което неизвестното е част от аргумента на тригонометрично съотношение. За решаване на предложеното уравнение е удобно да се използва формулата за косинуса на двойния ъгъл:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Защото по този начин аргументът от лявата страна става x вместо 2x. Така:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

От друга страна, cos ² x + sin ² x = 1, така че:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Терминът cos ² x отменя и остава:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Сега се прави следната промяна на променлива: sinx = u и уравнението става:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Чиито решения са: u = 0 и u = -4. Връщайки промяната, бихме имали две възможности: sin x = 0 и sinx = -4. Това последно решение не е жизнеспособно, тъй като синусът на всеки ъгъл е между -1 и 1, така че ни остава първата алтернатива:

sin x = 0

Следователно x = 0º е решение, но всеки ъгъл, чийто синус е 0, също работи, който също може да бъде 180º (π радиани), 360º (2 π радиана) и съответните негативи.

Най-общото решение на тригонометричното уравнение е: x = kπ, където k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k цяло число.

Препратки

1. Балдор, А. 2004. Плоска и космическа геометрия с тригонометрия. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 3. Системи за частици. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Серия: Физика за наука и инженерство. Том 5. Електрическо взаимодействие. Редактиран от Дъглас Фигероа (USB).
4. OnlineMathLearning. Видове ъгли. Възстановени от: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Алгебра, тригонометрия и аналитична геометрия. McGraw Hill Interamericana.