ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЪГЛИ: КОИ И КАК СЕ ИЗЧИСЛЯВАТ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Два или повече ъгъла са допълнителни ъгли, ако сумата от техните мерки съответства на тази на прав ъгъл. Както е известно, мярката на прав ъгъл в градуси е 90º, а в радианите е π / 2.

Например двата ъгъла, съседни на хипотенузата на десен триъгълник, са взаимно допълващи се, тъй като сборът на техните мерки е 90º. Следващата фигура е много показателна в това отношение:

Фигура 1. Отляво, няколко ъгъла с общ връх. Вдясно, ъгъл от 60º, който допълва ъгъла α (алфа). Източник: Ф. Сапата.

Общо четири ъгъла са показани на фигура 1. α и β са взаимно допълващи се, тъй като са съседни и тяхната сума завършва под прав ъгъл. По подобен начин β е допълващ към γ, от което следва, че γ и α са с еднаква мярка.

Сега, тъй като сумата от α и δ е равна на 90 градуса, може да се каже, че α и δ са взаимно допълващи се. Освен това, тъй като β и δ имат една и съща допълваща α, може да се каже, че β и δ имат една и съща мярка.

Примери за допълнителни ъгли

Следващите примери искат да се намерят непознатите ъгли, маркирани с въпросителни на фигура 2.

Фигура 2. Различни примери за допълнителни ъгли. Източник: Ф. Сапата.

- Примери A, B и C

Следващите примери са в ред на сложност.

Пример А

На фигурата по-горе имаме, че съседните ъгли α и 40º се добавят под прав ъгъл. Тоест, α + 40º = 90º, следователно α = 90º- 40º = 50º.

Пример Б

Тъй като β е допълващ ъгъла от 35º, тогава β = 90º - 35º = 55º.

Пример С

От фигура 2С имаме, че сумата от γ + 15º + 15º = 90º. С други думи, γ е допълващ ъгъла 30º = 15º + 15º. Така че:

γ = 90º- 30º = 60º

- Примери D, E и F

В тези примери има повече ъгли. За да намери неизвестните, читателят трябва да приложи концепцията за допълващ ъгъл толкова пъти, колкото е необходимо.

Пример D

Тъй като X е допълващ 72º, от това следва, че X = 90º - 72º = 18º. Освен това Y е допълващ X, така че Y = 90º - 18º = 72º.

Накрая Z се допълва с Y. От всичко по-горе следва, че:

Z = 90º - 72º = 18º

Пример Е

Ъглите δ и 2δ са взаимнодопълващи се, следователно δ + 2δ = 90º.

Тоест 3δ = 90º, което означава, че δ = 90º / 3 = 30º.

Пример F

Ако наречем ъгъла между que и 10º U, тогава U е допълнителен и за двамата, защото се наблюдава, че тяхната сума завършва с прав ъгъл. От което следва, че U = 80º. Тъй като U е комплементарен на ω, тогава ω = 10º.

Упражнения

По-долу са предложени три упражнения. Във всички тях трябва да се намери стойността на ъгли А и В в градуси, така че връзките, показани на фигура 3, да бъдат изпълнени.

Фигура 3. Илюстрации за допълнителни упражнения за ъгъл. Източник: Ф. Сапата.

- Упражнение 1

Определете стойностите на ъгли A и B от част I) на фигура 3.

Решение

От показаната фигура се вижда, че A и B са взаимнодопълващи се, следователно A + B = 90º. Заменяме израза за A и B като функция на x, даден в част I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

След това термините са групирани по подходящ начин и се получава просто линейно уравнение:

(5x / 2) + 22 = 90

Като изваждаме 22 и в двата члена, имаме:

5x / 2 = 90 -22 = 68

И накрая стойността на x се изчиства:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Сега ъгълът A се намира чрез заместване на стойността на X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20.6 º.

Докато ъгъл B е:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5-ти = 69.4º.

- Упражнение 2

Намерете стойностите на ъглите A и B на изображение II, фигура 3.

Решение

Отново, тъй като A и B са допълващи ъгли, следва, че: A + B = 90º. Замествайки израза за A и B като функция на x, даден в част II) на фигура 3, имаме:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Подобни термини са групирани заедно, за да се получи уравнението:

6 x + 30 = 90

Разделяйки и двата члена на 6, получавате:

x + 5 = 15

От което следва, че x = 10º.

По този начин:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Упражнение 3

Определете стойностите на ъгли A и B от част III) на фигура 3.

Решение

Отново фигурата е внимателно анализирана, за да се намерят допълващите ъгли. В този случай имаме, че A + B = 90 градуса. Замествайки израза за A и B като функция на x, даден на фигурата, имаме:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Разделянето на двата члена по 3 резултата в следното:

x + 10 = 30

От което следва, че x = 20º.

С други думи, ъгълът A = -20 +45 = 25º. И от своя страна: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Перпендикулярни странични ъгли

За два ъгъла се казва, че имат перпендикулярни страни, ако всяка страна има съответен перпендикуляр от другата. Следващата фигура пояснява концепцията:

Фигура 4. Ъгли на перпендикулярни страни. Източник: Ф. Сапата.

На фигура 4 са наблюдавани например ъглите α и θ. Сега забележете, че всеки ъгъл има съответния перпендикуляр на другия ъгъл.

Вижда се също, че α и θ имат еднакъв допълващ се ъгъл z, следователно наблюдателят веднага заключава, че α и θ имат една и съща мярка. Тогава изглежда, че ако два ъгъла имат страни, перпендикулярни една на друга, те са равни, но нека разгледаме друг случай.

Сега помислете за ъглите α и ω. Тези два ъгъла също имат съответните перпендикулярни страни, но не може да се каже, че имат еднаква мярка, тъй като единият е остър, а другият е тъп.

Обърнете внимание, че ω + θ = 180º. Освен това θ = α. Ако заместите този израз с z в първото уравнение, получавате:

δ + α = 180º, където δ и α са взаимно перпендикулярни ъгли на страните.

Общо правило за ъгли на перпендикулярни страни

1. Балдор, JA 1973. Геометрия на равнината и пространството. Централноамериканска културна.
2. Математически закони и формули. Системи за измерване на ъгъл. Възстановено от: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Възстановено от: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Допълнителни ъгли. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Конвейер. Възстановено от: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: история, части, операция. Възстановено от: lifeder.com