СЪЧЕТАЙТЕ ВЪТРЕШНИ И ВЪНШНИ ЪГЛИ: ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В конюгатите ъгли са тези прибавя към резултатите да бъде 360, независимо от споменатите ъгли са съседни или не. Два конюгатни ъгъла са показани на фигура 1, обозначени с α и β.

В този случай ъглите α и β на фигурата имат общ връх и страните им са общи, следователно те са съседни. Връзката между тях се изразява по следния начин:

α + β = 360º

Фигура 1. Два конюгирани централни ъгли, сбор. Източник: Wikimedia Commons. Не е предоставен машинно четим автор. Thiago R Ramos прие (въз основа на претенции за авторски права). Това е класификация на ъглите по тяхната сума. Други важни дефиниции включват допълнителни ъгли, чиято сума е 90º, и допълнителни ъгли, които са общо 180º.

От друга страна, нека сега разгледаме две успоредни линии, изрязани от секант, чието разположение е показано по-долу:

Фигура 2. Паралелни линии, изрязани от секант. Източник: Ф. Сапата.

Линиите MN и PQ са успоредни, докато линията RS е секантна, пресичайки паралелите в две точки. Както се вижда, тази конфигурация определя образуването на 8 ъгъла, които са обозначени с малки букви.

Е, според определението, дадено в началото, ъглите a, b, c и d са конюгирани. И по същия начин са e, f, g и h, тъй като и двата случая са верни:

a + b + c + d = 360º

И

e + f + g + h = 360º

За тази конфигурация два ъгъла са конюгирани, ако са от една и съща страна по отношение на секантната линия RS и двата са вътрешни или външни. В първия случай говорим за вътрешни конюгирани ъгли, докато във втория - външни конюгирани ъгли.

Примери

На фигура 2, външните ъгли са тези, които са извън областта, ограничена от линиите MN и PQ, те са ъглите A, B, G и H. Докато ъглите, които са между двете линии са C, D, E и F.

Сега е необходимо да се анализира кои ъгли са отляво и кои отдясно на сеанса.

Вляво от RS са ъгли A, C, E и G. А вдясно са ъгли B, D, F и H.

Веднага пристъпваме към определяне на двойките ъгъл на конюгат, съгласно определението, дадено в предишния раздел:

-A и G, външно и отляво на RS.

-D и F, вътрешни и вдясно от RS.

-B и H, външни и вдясно от RS.

-C и E, вътрешно и отляво на RS.

Свойство на конюгирани ъгли между успоредни линии

Свързаните ъгли между успоредни линии са допълнителни, тоест тяхната сума е равна на 180º. По този начин за фигура 2 е вярно следното:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Двойките на съответните ъгли за успоредни линии

Те са тези, които са от една и съща страна на секантната линия, не са съседни и едната от тях е вътрешна, а другата - външна. Важно е да ги визуализирате, тъй като тяхната мярка е една и съща, защото те са на противоположни ъгли спрямо върха.

Връщайки се към фигура 2, съответните двойки ъгли са идентифицирани като:

-А и Е

-С и Ж

-B и F

-D и H

Вътрешни ъгли на четириъгълник

Четириъгълниците са четиристранни многоъгълници, сред които квадратът, правоъгълникът, трапецията, паралелограмът и ромбът, например. Независимо от формата им, във всеки от тях е вярно, че сборът на техните вътрешни ъгли е 360º, следователно те отговарят на определението, дадено в началото.

Нека да видим няколко примера за четириъгълници и как да изчислим стойността на техните вътрешни ъгли според информацията в предходните раздели:

Примери

а) Три от ъглите на четириъгълна мярка 75º, 110º и 70º. Колко трябва да измерва оставащият ъгъл?

б) Намерете стойността на ъгъла ∠Q на фигура 3 i.

в) Изчислете мярката на ъгъла ∠A на фигура 3 ii.

Решение за

Нека α е липсващият ъгъл, то е удовлетворено, че:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Решение b

На фигура 3i е показан трапец и два от неговите вътрешни ъгли са прави, които са маркирани с цветен квадрат в ъглите. За този четириъгълник се проверява следното:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

По този начин:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Решение c

Четириъгълникът на фигура 3 ii също е трапец, за който е вярно следното:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

По този начин:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

За да определим ъгъла, поискан в изявлението, използваме, че ∠A = 4x - 5. Заместването на предварително изчислената стойност на x следва, че ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Упражнения

- Упражнение 1

Като знаете, че един от показаните ъгли е 125º, намерете мерките на 7-те останали ъгъла на следващата фигура и обосновете отговорите.

Фигура 4. Линиите и ъглите на упражнение 1. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Ъгъл 6 и ъгъл 125º са вътрешни конюгати, чиято сума е 180º, според свойството на конюгирани ъгли, следователно:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

От друга страна ∠6 и ∠8 са противоположни ъгли от върха, чиято мярка е една и съща. Следователно ∠8 измерва 55º.

Ъгълът ∠1 също е противоположен на върха при 125º, тогава можем да потвърдим, че ∠1 = 125º. Можем да обжалваме и факта, че съответните двойки ъгли имат една и съща мярка. На фигурата тези ъгли са:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Упражнение 2

Намерете стойността на x на следната фигура и стойностите на всички ъгли:

Фигура 5. Линии и ъгли за упражнение 2. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Тъй като те са съответни двойки, от това следва, че F = 73º. И от друга страна, сумата от свързаните двойки е 180º, следователно:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Накрая стойността на x е:

x = 87/3 = 29

Що се отнася до всички ъгли, те са изброени на следната фигура:

Фигура 6. Ъгли в резултат на упражнение 2. Източник: Ф. Сапата.

Препратки

1. Ъглови групи. Допълнително, допълнително и допълнително обяснение на ъгли. Възстановени от: thisiget.com/
2. Балдор, А. 1983. Плоска и космическа геометрия и тригонометрия. Културна група Патрия.
3. Corral, M. Математика LibreTexts: Ъгли. Възстановено от: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Класифициране и конструиране на ъгли чрез тяхното измерване. Възстановени от: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Възстановено от: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Свържете ъгли. Възстановено от: es.wikipedia.org.