ТЕОРЕМА ЗА СЪЩЕСТВУВАНЕ И УНИКАЛНОСТ: ДОКАЗАТЕЛСТВО, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

На съществуване и уникалност теорема установява необходими и достатъчни условия за диференциално уравнение от първи ред, с определен първоначално състояние, да имат разтвор и този разтвор да бъде само един.

Теоремата обаче не дава никаква техника или индикация как да се намери такова решение. Теоремата за съществуването и уникалността се разширява и до диференциални уравнения от по-висок ред с първоначални условия, което е известно като задача на Коши.

Фигура 1. Показано е диференциално уравнение с първоначално условие и неговото решение. Теоремата за съществуването и уникалността гарантира, че тя е единственото възможно решение.

Официалното твърдение за съществуването и уникалността на теоремата е следното:

„За диференциално уравнение y '(x) = f (x, y) с първоначално условие y (a) = b, съществува поне едно решение в правоъгълна област на равнината XY, която съдържа точката (a, b), ако f (x, y) е непрекъснат в този регион. И ако частичната производна на f по отношение на y: g = ∂f / ∂y е непрекъсната в същия този правоъгълен регион, тогава решението е уникално в съседство на точка (a, b), съдържаща се в областта на непрекъснатостта на fy гр. "

Полезността на тази теорема се състои първо в това да се знае кои са областите на равнината XY, в която може да съществува решение, а също и да се знае дали намереното решение е единственото възможно или дали има други.

Обърнете внимание, че в случай, че условието за уникалност не е изпълнено, теоремата не може да предвиди колко решения общо има проблемът Коши: може би е едно, две или повече.

Доказателство за съществуването и уникалността на теоремата

Фигура 2. Чарлз Емил Пикар (1856-1941) е кредитиран с едно от първите доказателства за теоремата за съществуването и уникалността. Източник: Wikimedia Commons.

За тази теорема са известни две възможни доказателства, едното от тях е доказателството на Чарлз Емиле Пикар (1856-1941), а другото се дължи на Джузепе Пеано (1858-1932) въз основа на творбите на Августин Луис Коши (1789-1857), Прави впечатление, че най-блестящите математически умове от XIX век са участвали в доказването на тази теорема, така че може да се интуитира, че нито един от тях не е прост.

За да се докаже официално теоремата, е необходимо първо да се създадат поредица от по-усъвършенствани математически концепции, като функции от типа на Липшиц, пространства на Банах, теорема за съществуване на Каратеодори и няколко други, които са извън обхвата на статията.

Голяма част от диференциалните уравнения, които се обработват във физиката, се занимават с непрекъснати функции в интересните региони, следователно ще се ограничим до показване как теоремата се прилага в прости уравнения.

Примери

- Пример 1

Нека разгледаме следното диференциално уравнение с първоначално условие:

y '(x) = - y; с y (1) = 3

Има ли решение за този проблем? Това ли е единственото възможно решение?

Отговори

На първо място се оценява съществуването на решението на диференциалното уравнение и то също отговаря на първоначалното условие.

В този пример f (x, y) = - и условието за съществуване изисква да се знае дали f (x, y) е непрекъснат в област на равнината XY, която съдържа точката на координатите x = 1, y = 3.

Но f (x, y) = - y е аффинната функция, която е непрекъсната в областта на реалните числа и съществува в целия диапазон на реалните числа.

Следователно се заключава, че е (х, у) е непрекъсната в R ², така теоремата гарантира наличието на най-малко един разтвор.

Знаейки това, е необходимо да се прецени дали решението е уникално или, напротив, има повече от едно. За това е необходимо да се изчисли частичната производна на f по отношение на променливата y:

Тогава г (х, у) = -1, която е функция константа, която също се определя за всички R ² и е непрекъснат там. От това следва, че теоремата за съществуването и уникалността гарантира, че този проблем с първоначална стойност има уникално решение, въпреки че не ни казва какво е това.

- Пример 2

Помислете следното обикновено диференциално уравнение от първи ред с първоначално условие:

y '(x) = 2√y; и (0) = 0.

Има ли решение y (x) на този проблем? Ако е така, определете дали има един или повече от един.

Отговор

Ние считаме функцията f (x, y) = 2√y. Функцията f е дефинирана само за y≥0, тъй като знаем, че за отрицателно число липсва реален корен. Освен това, е (х, у) е непрекъсната в горната половина равнина на R ² включително оста X, така гарантира наличието и уникалност теорема поне едно решение в тази област.

Сега първоначалното условие x = 0, y = 0 е на ръба на областта на разтвора. Тогава вземаме частичната производна на f (x, y) по отношение на y:

∂f / ∂y = 1 / √y

В този случай функцията не е дефинирана за y = 0, точно там, където е първоначалното условие.

Какво ни казва теоремата? Това ни казва, че макар да знаем, че има най-малко едно решение в горната половина на равнината на оста X, включително оста X, тъй като условието за уникалност не е изпълнено, няма гаранция, че ще има уникално решение.

Това означава, че може да има едно или повече от едно решение в областта на непрекъснатостта на f (x, y). И както винаги, теоремата не ни казва какви биха могли да бъдат.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Решете проблема Коши в Пример 1:

y '(x) = - y; с y (1) = 3.

Намерете функцията y (x), която удовлетворява диференциалното уравнение и първоначалното условие.

Решение

В пример 1 беше определено, че този проблем има решение и също е уникален. За да намерите решението, първото нещо, което трябва да се отбележи, е, че това е диференциално уравнение от първа степен на разделими променливи, което се записва, както следва:

Разделяне между и в двата члена за разделяне на променливите, които имаме:

Неопределеният интеграл се прилага и в двата члена:

Решаването на неопределените интеграли имаме:

където C е константа на интеграция, която се определя от първоначалното условие:

Заместването на стойността на C и пренареждането остава:

Прилагане на следното свойство на логаритми:

Горният израз може да бъде пренаписан така:

Експоненциалната функция с база e в двата члена се прилага за получаване:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Което е еквивалентно на:

y = 3e e ^-x

Това е уникалното решение на уравнението y '= -y с y (1) = 3. Графиката на това решение е показана на фигура 1.

- Упражнение 2

Намерете две решения на проблема, поставен в Пример 2:

y '(x) = 2√ (y); и (0) = 0.

Решение

Това е също уравнение на разделими променливи, което, написано в диференциална форма, изглежда така:

dy / √ (y) = 2 dx

Вземането на неограничения интеграл и в двата члена остава:

2 √ (y) = 2 x + C

Тъй като знаем, че y≥0 в района на разтвора имаме:

y = (x + C) ²

Но тъй като първоначалното условие x = 0, y = 0 трябва да бъде изпълнено, то константата C е нула и остава следното решение:

y (x) = x ².

Но това решение не е уникално, функцията y (x) = 0 също е решение на поставения проблем. Теоремата за съществуването и уникалността, приложена към този проблем в Пример 2, вече беше предвидила, че може да има повече от едно решение.

Препратки

1. Кодингтън, граф А.; Левинсън, Норман (1955), Теория на обикновените диференциални уравнения, Ню Йорк: McGraw-Hill.
2. Енциклопедия по математика. Теорема на Коши-Липшиц. Възстановено от: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des приближения последователно aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences. Том 116, 1894, с. 454-457. Възстановено от: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Метод на последователни приближения на Пикард. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Теорема на Пикард-Линдельоф. Възстановено от: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Елементарни диференциални уравнения с приложения.