ТЕОРЕМА НА VARIGNON: ПРИМЕРИ И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В теорема Varignon гласи, че ако някой четириъгълник сте постоянно свързани средите на страните, успоредник се генерира. Тази теорема е формулирана от Пиер Вариньон и публикувана през 1731 г. в книгата „Елементи на математиката“.

Издаването на книгата станало години след смъртта му. Тъй като именно Вариньон е въвел тази теорема, паралелограмът е кръстен на него. Теоремата се основава на евклидова геометрия и представя геометрични отношения на четириъгълниците.

Каква е теоремата на Вариньон?

Вариньон заяви, че фигура, която се определя от средните точки на четириъгълник, винаги ще доведе до паралелограм, а площта на паралелограма винаги ще бъде половината от площта на четириъгълника, ако е плоска и изпъкнала. Например:

На фигурата можете да видите четириъгълник с площ X, където средните точки на страните са представени от E, F, G и H и, когато са свързани, образуват паралелограм. Площта на четириъгълника ще бъде сборът от площите на триъгълниците, които се образуват, а половината от това съответства на площта на паралелограма.

Тъй като площта на паралелограма е половината от площта на четириъгълника, периметърът на този паралелограм може да бъде определен.

По този начин периметърът е равен на сумата от дължините на диагоналите на четириъгълника; това е така, защото медианите на четириъгълника ще бъдат диагоналите на паралелограма.

От друга страна, ако дължините на диагоналите на четириъгълника са абсолютно еднакви, паралелограмът ще бъде ромб. Например:

От фигурата се вижда, че чрез свързване на средните точки на страните на четириъгълника се получава ромб. От друга страна, ако диагоналите на четириъгълника са перпендикулярни, паралелограмът ще бъде правоъгълник.

Също така паралелограмът ще бъде квадрат, когато четириъгълникът има диагоналите със същата дължина и те също са перпендикулярни.

Теоремата не е изпълнена само в равнинни четириъгълници, тя се прилага и в пространствена геометрия или в големи размери; тоест в онези четириъгълници, които не са изпъкнали. Пример за това може да бъде октаедър, където средните точки са центроидите на всяко лице и образуват паралелепипед.

По този начин, чрез присъединяване към средните точки на различни фигури, могат да се получат паралелограми. Лесен начин да проверите дали това наистина е вярно е, че противоположните страни трябва да са успоредни, когато са разширени.

Примери

Първи пример

Удължаване на противоположни страни, за да се покаже, че е паралелограм:

Втори пример

С присъединяването на средните точки на ромба се получава правоъгълник:

Теоремата се използва в обединението на точки, разположени в средата на страните на четириъгълник, и може да се използва и за други видове точки, като трисекция, пентасечение или дори безкраен брой секции (nth), за да се разделят страните на всеки четириъгълник на пропорционални сегменти.

Решени упражнения

Упражнение 1

На фигурата имаме четириъгълник ABCD на зона Z, където средните точки на страните на това са PQSR. Проверете дали е формиран паралелограм на Varignon.

Решение

Вижда се, че присъединяването към PQSR точките образува паралелограм на Varignon, точно защото средните точки на четириъгълник са дадени в изявлението.

За да се демонстрира това, първо се присъединяват средните точки PQSR, така че може да се види, че се формира друг четириъгълник. За да покажете, че е паралелограм, трябва само да начертаете права линия от точка С до точка А, така че да се види, че СА е успореден на PQ и RS.

По същия начин при разширяване на страните PQRS може да се види, че PQ и RS са паралелни, както е показано на следното изображение:

Упражнение 2

Имаме правоъгълник такъв, че дължините на всичките му страни са равни. С присъединяването на средните точки на тези страни се образува ромб ABCD, който е разделен на два диагонала AC = 7cm и BD = 10cm, които съвпадат с измерванията на страните на правоъгълника. Определете зоните на ромба и правоъгълника.

Решение

Спомняйки си, че площта на получения паралелограм е половината от четириъгълника, площта на тях може да бъде определена като се знае, че мярката на диагоналите съвпада със страните на правоъгълника. Така че трябва да:

AB = D

CD = d

А _{правоъгълник} = (АВ _* CD) = (10 cm _* 7 см) = 70cm ²

А _ромб = A _{правоъгълник} / 2

А _ромб = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Упражнение 3

На фигурата има четириъгълник, който има съединението на точките EFGH, са дадени дължините на сегментите. Определете дали обединението на EFGH е паралелограм.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Решение

Тъй като са дадени дължините на сегментите, може да се провери дали има пропорционалност между сегментите; това означава, че можете да знаете дали те са успоредни, свързвайки сегментите на четириъгълника, както следва:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Тогава се проверява пропорционалността, тъй като:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

По същия начин, когато рисувате линия от точка Б до точка D, може да се види, че EH е успореден на BD, точно както BD е успореден на FG. От друга страна, EF е успореден на GH.

По този начин може да се определи, че EFGH е паралелограм, тъй като противоположните страни са успоредни.

Препратки

1. Андрес, Т. (2010). Математическа олимпиада Tresure. Springer. Ню Йорк.
2. Barbosa, JL (2006). Плоска евклидова геометрия. SBM. Рио де Жанейро.
3. Howar, E. (1969). Проучване на геометриите. Мексико: испано-американски.
4. Рамо, GP (1998). Неизвестни решения на проблемите на Fermat-Torricelli. ISBN - Самостоятелна работа.
5. Вера, Ф. (1943). Елементи на геометрията. Богота
6. Villiers, M. (1996). Някои приключения в евклидовата геометрия. Южна Африка.