РЕЗУЛТАТЕН ВЕКТОР: ИЗЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В Полученият вектор е този, получен чрез операция с вектори, чийто резултат е също вектор. Обикновено тази операция е сумата от два или повече вектора, чрез които се получава вектор, чийто ефект е еквивалентен.

По този начин се получават вектори като получената скорост, ускорение или сила. Например, когато няколко сили F ₁, F ₂, F ₃,… действат върху тяло. векторната сума на всички тези сили е равна на нетната сила (получената), която се изразява математически, както следва:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R или F _N

Фигура 1. Теглото на снега се разпределя върху покрива и неговото действие може да бъде заменено с единична резултатна сила, приложена на подходящо място. Източник: Pixabay

Полученият вектор, независимо дали е сила или някаква друга величина на вектора, се намира чрез прилагане на правилата за добавяне на вектор. Тъй като векторите имат посока и смисъл, както и числова стойност, не е достатъчно да добавите модулите, за да имате получения вектор.

Това е вярно само в случаите, когато участващите вектори са в една и съща посока (вижте примери). В противен случай е необходимо да се използват методи за векторна сума, които в зависимост от случая могат да бъдат геометрични или аналитични.

Примери

Геометричните методи за намиране на получения вектор са методът на преминаване и паралелограм.

Що се отнася до аналитичните методи, съществува компонентният метод, чрез който векторът, произтичащ от всяка система от вектори, може да бъде намерен, стига да имаме неговите декартови компоненти.

Геометрични методи за добавяне на два вектора

Да предположим, че векторите u и v (обозначаваме ги удебелено, за да ги различим от скаларите). На фигура 2а) разполагаме с тях, разположени в равнината. На фигура 2 б) е преведен във вектор v по такъв начин, че неговият произход съвпада с края на u. Полученият вектор преминава от началото на първото (u) до върха на последното (v):

Фигура 2. Полученият вектор от графичната сума на векторите. Източник: самостоятелно направен.

Получената фигура в този случай е триъгълник (триъгълник е тристранен многоъгълник). Ако имаме два вектора в една и съща посока, процедурата е една и съща: поставете един от векторите след другия и нарисувайте такъв, който отива от началото или опашката на първия към върха или края на последния.

Имайте предвид, че редът, в който се извършва тази процедура, няма значение, тъй като сумата от вектори е комутативна.

Също така имайте предвид, че в този случай модулът (дължината или размерът) на получения вектор е сумата от модулите на добавените вектори, за разлика от предишния случай, в който модулът на получения вектор е по-малък от сумата на модули за участници

Метод на паралелограма

Този метод е много подходящ, когато трябва да добавите два вектора, чиито начални точки съвпадат, да речем, с произхода на xy координатна система. Да предположим, че това е така за нашите вектори u и v (фигура 3а):

Фигура 3. Сума от два вектора, използвайки метода на паралелограма с получения вектор в тюркоазено синьо. Източник: самостоятелно направен.

На фигура 3б) е създаден паралелограм с помощта на пунктирани линии, успоредни на u и v. Полученият вектор има своя произход в O и неговия край в точката, където пунктираните линии се пресичат. Тази процедура е напълно еквивалентна на описаната в предходния раздел.

Упражнения

-Упражнение 1

Като се имат предвид следните вектори, намерете получения вектор, използвайки метода на преминаване.

Фигура 4. Вектори, за да намерят резултата си, използвайки полигоналния метод. Упражнение 1. Източник: собствена разработка.

Решение

Методът на преминаване е първият от наблюдаваните методи. Не забравяйте, че сумата на векторите е комутативна (редът на добавките не променя сумата), така че можете да започнете с някой от векторите, например u (фигура 5a) или r (фигура 5b):

Фигура 5. Сума от вектори, използващи полигоналния метод. Източник: самостоятелно направен.

Фигура получен е многоъгълник и полученият вектор (в синьо) се нарича R. Ако започнете с друг вектор, формата, която се формира, може да е различна, както е показано в примера, но полученият вектор е същият.

Упражнение 2

На следващата фигура знаем, че модулите на векторите u и v съответно са u = 3 произволни единици и v = 1,8 произволни единици. Ъгълът, който u прави с положителната x-ос, е 45º, докато v прави 60º с оста y, както се вижда на фигурата. Намерете резултиращия вектор, величина и посока.

Решение

В предходния раздел полученият вектор е намерен чрез прилагане на метода на паралелограм (в тюркоаз на фигурата).

Лесен начин за намиране на получения вектор аналитично е да изразите добавените вектори по отношение на техните декартови компоненти, което е лесна задача, когато са известни модул и ъгъл, като например векторите в този пример:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2.12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Векторите u и v са вектори, принадлежащи на равнината, поради което имат два компонента всеки. Вектор u е в първия квадрант и неговите компоненти са положителни, докато вектор v е в четвъртия квадрант; нейният х компонент е положителен, но проекцията му върху вертикалната ос пада върху отрицателната ос y.

Изчисляване на декартови компоненти на получения вектор

Полученият вектор се намира чрез добавяне на алгебрично съответните x и y компоненти, за да се получат техните декартови компоненти:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

След като декартовите компоненти са определени, векторът е напълно известен. Полученият вектор може да се изрази с нотация в скоби:

R = <3,68; 1.22> произволни единици

Нотацията на скобите се използва за разграничаване на вектор от точка в равнината (или в пространството). Друг начин за изразяване на получения вектор аналитично е чрез използване на единичните вектори i и j в равнината (i, j и k в пространството):

R = 3.68 i + 1.22 j произволни единици

Тъй като и двата компонента на получения вектор са положителни, вектор R принадлежи към първия квадрант, който вече е видян графично преди.

Величина и посока на получения вектор

Познаването на декартови компоненти, степента на R се изчислява чрез Питагоровата теорема, тъй като полученият вектор R, заедно с неговите компоненти R _X и R _и образуват правоъгълен триъгълник:

Величина или модул: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Посока q, като за ориентир се приема положителната x ос: q = арктан (R _y / R _x) = arctg (1.22 / 3.66) = 18.3 º

Препратки

1. Добавяне на вектори и правила. Получено от: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
3. Физическа. Модул 8: Вектори. Възстановено от: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Механика за инженери. статичен 6-то издание. Издателска компания Continental. 15-53.
5. Вектор Калкулатор за добавяне Получено от: www.1728.org