ЪГЛОВА СКОРОСТ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ФОРМУЛА, ИЗЧИСЛЕНИЕ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На ъгловата скорост е мярка за скоростта на въртене и е определен като ъгълът, който се върти от позиция вектора на въртящата се обект, за единица време. Това е величина, която описва много добре движението на множество обекти, които постоянно се въртят навсякъде: компактдискове, автомобилни колела, машини, Земята и много други.

Диаграма на «Лондонското око» може да се види на следващата фигура. Той представлява движението на пътник, представено с точка P, която следва кръговата пътека, наречена c:

Схематично представяне на кръговата пътека, която следва пътник на «Лондонското око». Източник: самостоятелно направен.

Пътникът заема позиция P в момент t, а ъгловата позиция, съответстваща на този момент, е ϕ.

От момента t изтича период от време Δt. В този период новото положение на точния пътник е P ', а ъгловото положение се е увеличило с ъгъл Δϕ.

Как се изчислява ъгловата скорост?

За ротационни количества широко се използват гръцки букви, за да се разграничат от линейните величини. Така че първоначално средната ъглова скорост ω _m се определя като ъгъл, изминат за определен период от време.

Тогава коефициентът Δϕ / Δt ще представлява средната ъглова скорост ω _m между моментите t и t + Δt.

Ако искате да изчислите ъгловата скорост точно в момента t, тогава трябва да изчислите съотношението Δϕ / Δt, когато Δt ➡0:

Връзка между линейната и ъгловата скорост

Линейната скорост v е коефициентът между изминатото разстояние и времето, необходимо за изминаването му.

На фигурата по-горе изминатата дъга е Δs. Но тази дъга е пропорционална на изминатия ъгъл и радиуса, като е изпълнено следното отношение, което е валидно, докато Δ се измерва в радиани:

Δs = r ・ Δϕ

Ако разделим предишния израз на изтичане на времето Δt и вземем границата, когато Δt ➡0, ще получим:

v = r ・ ω

Равномерно въртеливо движение

На снимката е прочутото „Лондонско око“, 135 м високо въртящо се колело, което се върти бавно, за да могат хората да се качат в каютите в основата му и да се насладят на лондонската природа. Източник: Pixabay

Ротационното движение е равномерно, ако във всеки наблюдаван момент ъгълът, който е извършен, е един и същ през същия период от време.

Ако въртенето е равномерно, тогава ъгловата скорост във всеки момент съвпада със средната ъглова скорост.

Освен това, когато се извърши пълен завой, изминатият ъгъл е 2π (еквивалентен на 360 °). Следователно при еднообразно въртене ъгловата скорост ω е свързана с периода Т по следната формула:

f = 1 / T

Тоест при равномерно въртене ъгловата скорост е свързана с честотата чрез:

ω = 2π ・ f

Решени проблеми с ъглова скорост

Упражнение 1

Кабините на голямото въртящо се колело, известно като „Лондонското око“, се движат бавно. Скоростта на кабините е 26 см / с, а колелото е с диаметър 135 м.

С тези данни се изчислява:

i) ъгловата скорост на колелото

ii) Честотата на въртене

iii) Времето, необходимо за кабината да извърши пълен завой.

Отговори:

i) Скоростта v в m / s е: v = 26 cm / s = 0.26 m / s.

Радиусът е половин от диаметъра: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 оборота / с

f = 6,13 x 10 ^ -4 оборота / s = 0,0368 оборот / мин = 2,21 оборота / час.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 обиколка / час = 0,45311 час = 27 мин 11 сек

Упражнение 2

Кола за играчки се движи по кръгова писта с радиус 2м. На 0 s ъгловата му позиция е 0 rad, но след време t ъгловото му положение се дава от:

φ (t) = 2 ・ t

Определи:

i) ъгловата скорост

ii) Линейната скорост във всеки момент.

Отговори:

i) Ъгловата скорост е производната на ъгловата позиция: ω = φ '(t) = 2.

С други думи, колата за играчки по всяко време има постоянна ъглова скорост, равна на 2 rad / s.

ii) Линейната скорост на автомобила е: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14.4 Km / h

Упражнение 3

Същата кола от предишното упражнение започва да спира. Ъгловото му положение като функция на времето се дава от следния израз:

φ (t) = 2 ・ t - 0.5 ・ t ²

Определи:

i) ъгловата скорост във всеки момент

ii) Линейната скорост във всеки момент

iii) Времето, необходимо за спиране от момента, в който започва да намалява

iv) Изминатият ъгъл

v) изминато разстояние

Отговори:

i) Ъгловата скорост е производната на ъгловата позиция: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0.5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) Линейната скорост на автомобила във всеки момент се дава от:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Времето, необходимо за спиране от момента, в който започва да намалява, се определя от знанието на момента, в който скоростта v (t) става нула.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Това означава, че спира 2 секунди след като започне да спира.

iv) В периода от 2s, когато започва да спира, докато спре, ъгъл, даден от φ (2), се променя:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 градуса

v) В периода от 2 s от началото на спирането до спирката се изминава разстояние s, дадено от:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Упражнение 4

Колелата на автомобил са с диаметър 80 см. Ако колата пътува със 100 км / ч. Намерете: i) ъгловата скорост на въртене на колелата; ii) честотата на въртене на колелата; iii) Броят завъртания, които колелото прави за 1 час.

Отговори:

i) На първо място ще преобразуваме скоростта на автомобила от Km / h в h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3.6) m / s = 27.78 m / s

Ъгловата скорост на въртене на колелата се дава от:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Честотата на въртене на колелата се определя от:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 оборота / сек

Честотата на въртене обикновено се изразява в обороти в минута об / мин

f = 11.05 оборота / s = 11.05 оборота / (1/60) мин. = 663.15 об / мин

iii) Броят на обиколките, които колелото прави в пътуване за 1 час, се изчислява, като се знае, че 1 час = 60 минути и че честотата е броя на обиколките N, разделен на времето, в което са направени тези N обиколки.

f = N / t => N = f ・ t = 663.15 (обороти / мин) х 60 мин = 39788.7 оборота.

Препратки

1. Giancoli, D. Физика. Принципи с приложения. 6-то издание. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Физическа. Том 1. Трето издание на испански език. Мексико. Compañía Редакция Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Физика за наука и инженерство. Том 1. 7-ми. Edition. Мексико. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org