ДЪГА (ГЕОМЕТРИЯ): МЯРКА, ВИДОВЕ АРКИ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На дъга, в геометрията, е всяка крива линия, която свързва две точки. Извита линия, за разлика от права, е тази, чиято посока е различна във всяка точка по нея. Обратното на дъга е сегмент, тъй като това е права секция, която свързва две точки.

Дугата, която най-често се използва в геометрията, е дъгата на обиколката. Други арки в обща употреба са параболичната арка, елиптичната арка и канарната арка. Арката форма често се използва и в архитектурата като декоративен и конструктивен елемент. Такъв е случаят с преградите на вратите и прозорците, както и с мостовете и акведуктите.

Фигура 1. Дъгата е извита линия, която свързва две точки на хоризонта. Източник: Pixabay

Арката и нейната мярка

Мярката на дъгата е нейната дължина, която зависи от вида на кривата, която свързва двете точки и тяхното местоположение.

Дължината на кръгла дъга е една от най-простите за изчисляване, тъй като е известна дължината на цялата дъга или периметър на обиколка.

Периметърът на една окръжност е два pi пъти по-голям от нейния радиус: p = 2 π R. Като знаем това, ако искаме да изчислим дължината s на кръгла дъга на ъгъл α (измерена в радиани) и радиус R, се прилага пропорция:

(s / p) = (α / 2 π)

След това, изчиствайки s от предишния израз и замествайки периметъра p за неговия израз като функция на радиуса R, имаме:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Тоест мярката на кръговата дъга е произведение на нейния ъглов отвор, равен на радиуса на кръговата дъга.

За арка като цяло проблемът е по-сложен, дотолкова, че големите мислители на древността твърдяха, че това е невъзможна задача.

Едва през появата на диференциално и интегрално смятане през 1665 г. проблемът с измерването на всяка дъга е решен задоволително.

Преди изобретяването на диференциалното смятане, решенията можеха да се намерят само чрез използване на многоъгълни линии или дъга с обиколка, които се доближават до истинската дъга, но тези решения не бяха точни.

Видове лъкове

От гледна точка на геометрията дъгите се класифицират според извитата линия, която свързва две точки на равнината. Съществуват и други класификации според неговата употреба и архитектурна форма.

Кръгла дъга

Когато линията, свързваща две точки в равнината, е парче обиколка с определен радиус, имаме кръгла дъга. Фигура 2 показва кръгова дъга с радиус R, свързващи точки A и B.

Фигура 2. Кръгла дъга с радиус R, която свързва точки А и Б. Изработена от Рикардо Перес.

Параболична арка

Параболата е пътеката, последвана от предмет, който е бил хвърлен косо във въздуха. Когато кривата, която се присъединява към две точки, е парабола, тогава имаме параболична дъга като тази, показана на фигура 3.

Фигура 3. Параболична дъга, свързваща точки А и Б. Изработена от Рикардо Перес.

Това е формата на струята вода, която излиза от маркуч, насочен нагоре. Параболичната дъга може да се наблюдава във водните източници.

Фигура 4. Параболична арка, образувана от вода от фонтан в Дрезден. Източник: Pixabay

Артерия на артерия

Катенарната арка е друга естествена арка. Катенерата е кривата, която се образува естествено, когато верига или въже виси свободно от две отделни точки.

Фигура 5. Катенарна арка и сравнение с параболичната арка. Подготвил Рикардо Перес.

Катенерията е подобна на параболата, но не е точно такава, както може да се види на фигура 4.

Обърнатата артериална арка се използва в архитектурата като структурен елемент с висока якост на натиск. Всъщност може да се покаже, че е най-силният тип лък сред всички възможни форми.

За да изградите солидна артерия на канара, просто копирайте формата на висящо въже или верига, след което копираната форма се завърта, за да го възпроизведете на покрива на вратата или прозореца.

Елиптична арка

Дъгата е елиптична, ако кривата, която свързва две точки, е парче от елипса. Елипсата се дефинира като място на точките, чието разстояние до две дадени точки винаги се добавя до постоянно количество.

Елипсата е крива, която се появява в природата: тя е кривата на траекторията на планетите около Слънцето, както е демонстрирано от Йоханес Кеплер през 1609г.

На практика елипса може да бъде нарисувана чрез приковаване на две подпори към земята или две щифтове в лист хартия и завързване на връв към тях. След това въжето се затяга с маркера или молива и се проследява извивката. Парче елипса е елиптична дъга. Следващата анимация илюстрира как е нарисувана елипсата:

Фигура 5. Проследяване на елипса с помощта на опънато въже. Източник: Wikimedia Commons

Фигура 6 показва елиптична дъга, свързваща точки G и H.

Фигура 6. Елиптична арка, свързваща две точки. Подготвил Рикардо Перес.

Примери за арки

Следващите примери се отнасят за това как да се изчисли периметърът на някои специфични арки.

Пример 1

Фигура 7 показва прозорец, завършен в изрязана кръгла дъга. Размерите, показани на фигурата, са в крачета. Намерете дължината на дъгата.

Фигура 7. Изчисляване на дължината на кръговата дъга на прозорец. (Собствени пояснения - изображение на прозореца в Pixabay)

За да получите центъра и радиуса на кръговата дъга на преградата на прозореца, върху изображението се правят следните конструкции:

-Начертава се сегмент KL и се разчертава неговия бисектор.

-Тогава се намира най-високата точка на преградата, която наричаме М. На следващо място се счита сегментът на KM и се проследява неговата медиатрица.

Прехващането на двата бисектриса е точка N, а също така е и центърът на кръговата дъга.

-Сега трябва да измерваме дължината на NM сегмента, която съвпада с радиуса R на кръговата дъга: R = 2,8 фута.

-За да се знае дължината на дъгата в допълнение към радиуса, е необходимо да се знае ъгълът, който дъгата образува. Което може да се определи по два метода, или се измерва с транспортир, или като алтернатива се изчислява с помощта на тригонометрия.

В показания случай ъгълът, образуван от дъгата, е 91.13º, който трябва да бъде преобразуван в радиани:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 радиана

Накрая изчисляваме дължината s на дъгата, използвайки формулата s = α R.

s = 1,59 * 2,8 фута = 4,55 фута

Пример 2

Намерете дължината на елиптичната дъга, показана на фигура 8, като знаете полу-голямата ос r и полу-маловажната ос на елипсата.

Фигура 8. Елиптична арка между GH. Подготвил Рикардо Перес.

Намирането на дължината на елипса беше един от най-трудните проблеми в математиката за дълго време. Можете да получите решения, изразени от елиптични интеграли, но за да имате числова стойност, трябва да разширите тези интеграли в мощностни серии. Точен резултат ще изисква безкрайни условия на тези серии.

За щастие, индуисткият математически гений Рамануджан, живял между 1887 и 1920 г., намери формула, която много точно приближава периметъра на елипса:

Периметърът на елипса с r = 3 cm и s = 2,24 cm е 16,55 cm. Показаната елиптична дъга обаче има половината от тази стойност:

Дължина на елиптичната арка GH = 8,28 cm.

Препратки

1. Clemens S. 2008. Геометрия и тригонометрия. Pearson Education.
2. Гарсия Ф. Числени процедури в Java. Дължина на елипса. Възстановено от: sc.ehu.es
3. Динамична геометрия. Лъкове. Възстановено от geometriadinamica.es
4. Piziadas. Елипси и параболи около нас. Възстановено от: piziadas.com
5. Wikipedia. Арка (геометрия). Възстановено от: es.wikipedia.com