КУРТОЗА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВИДОВЕ, ФОРМУЛИ, ЗА КАКВО Е НАПРИМЕР - ДУДА - 2025

В ексцеса или ексцеса е статистически параметър, използван за характеризиране на разпределението на вероятността за случайна променлива, показваща степента на концентрация на стойности около централната степен. Това е известно и като "пикова степен".

Терминът идва от гръцкото „kurtos“, което означава сводест, следователно куртозата показва степента на насочване или изравняване на разпределението, както се вижда на следната фигура:

Фигура 1. Различни видове куртоза. Източник: Ф. Сапата.

Почти всички стойности на произволна променлива са склонни да се струпват около централна стойност като средната стойност. Но при някои разпределения стойностите са по-разпръснати, отколкото при други, което води до по-плоски или по-тънки криви.

дефиниция

Куртозата е числова стойност, характерна за всяко разпределение на честотата, която според концентрацията на стойностите около средната стойност се класифицира в три групи:

- Лептокуртичен: при който стойностите са много групирани около средната стойност, така че разпределението е доста заострено и стройно (фигура 1, вляво).

- Мезокуртичен: има умерена концентрация на стойности около средната стойност (фигура 1 в центъра).

- Platicúrtica: това разпределение има по-широка форма, тъй като стойностите са склонни да бъдат по-разпръснати (фигура 1 вдясно).

Формули и уравнения

Куртозата може да има всякаква стойност, без ограничения. Изчисляването му се извършва в зависимост от начина, по който се предават данните. Използваната нотация във всеки случай е следната:

-Кефициент на куртоза: g ₂

-Аритметично средно: X или x с лента

-В i-та стойност: x _i

-Стандартно отклонение: σ

-Брой данни: N

-Честотата на i-та стойност: f _i

-Марка клас: mx _i

С тази нотация представяме някои от най-използваните формули за намиране на куртоза:

- Куртоза според представянето на данните

Данните не са групирани или групирани по честоти

Данни, групирани в интервали

Излишна куртоза

Наричан още коефициент на насочване на Фишер или мярка на Фишър, той се използва за сравняване на изследваното разпределение с нормалното разпределение.

Когато излишната куртоза е 0, ние сме в присъствието на нормално разпределение или гаусов звънец. По този начин винаги, когато се изчисли излишната куртоза на разпределение, ние всъщност я сравняваме с нормалното разпределение.

Както за негрупираните, така и за обединените данни, коефициентът на насочване на Фишер, обозначен с K, е:

K = g ₂ - 3

Сега може да се покаже, че куртозата на нормалното разпределение е 3, следователно, ако посочващият коефициент на Фишер е 0 или близък до 0 и има мезокрутично разпределение. Ако K> 0 разпределението е лептокуртично и ако K <0 е платикуртично.

За какво е куртоза?

Куртозата е мярка за променливост, използвана за характеризиране на морфологията на разпределението. По този начин могат да се сравнят симетрични разпределения със същата средна и една и съща дисперсия (дадени от стандартното отклонение).

Наличието на мерки за променливост гарантира, че средните стойности са надеждни и помага да се контролират отклоненията в разпределението. Като пример, нека разгледаме тези две ситуации.

Заплатите на 3 отдела

Да предположим, че следната графика показва разпределението на заплатите на 3 отдела на една и съща компания:

Фигура 2. Три разпределения с различна куртоза илюстрират практически ситуации. (Подготвил Фани Сапата)

Крива A е най-тънката от всички и от нейната форма може да се заключи, че повечето заплати на този отдел са много близки до средните, поради което повечето служители получават подобно обезщетение.

От своя страна, в отдел Б, кривата на заплатите следва нормално разпределение, тъй като кривата е мезокуртична, в която приемаме, че заплатите са били разпределени на случаен принцип.

И накрая имаме крива C, която е много плоска, знак, че в този отдел диапазонът на заплатите е много по-широк, отколкото в другите.

Резултатите от изпит

Сега да предположим, че трите криви на фигура 2 представляват резултатите от изпит, приложен към три групи студенти от същия предмет.

Групата, чиито оценки са представени от кривата на лептокуртите е доста хомогенна, мнозинството получи среден или близък рейтинг.

Възможно е също така резултатът да се дължи на тестовите въпроси с повече или по-малка степен на трудност.

От друга страна, резултатите от група С показват по-голяма хетерогенност в групата, която вероятно съдържа средни студенти, някои по-напреднали ученици и със сигурност еднакво по-малко внимателни.

Или може да означава, че тестовите въпроси имат много различни степени на трудност.

Кривата В е мезокотична, показва, че резултатите от теста следват нормално разпределение. Това обикновено е най-честият случай.

Работен пример за куртоза

Намерете коефициента на оценяване на Фишер за следните степени, получен на изпит по физика на група студенти, с мащаб от 1 до 10:

Решение

Следният израз ще бъде използван за негрупирани данни, дадени в предходните раздели:

K = g ₂ - 3

Тази стойност ви позволява да знаете вида на разпространението.

За да се изчисли g _2, е удобно да се направи по подреден начин, стъпка по стъпка, тъй като трябва да бъдат решени няколко аритметични операции.

Етап 1

Първо се изчислява средната стойност на оценките. Има N = 11 данни.

Стъпка 2

Намерено е стандартното отклонение, за което се използва това уравнение:

σ = 1.992

Или можете също така да създадете таблица, която също е необходима за следващата стъпка и в която се записва всеки термин от обобщенията, които ще са необходими, като се започне с (x _i - X), след това (x _i - X) ² и след това (x _i - X) ⁴:

Стъпка 3

Изпълнете сумата, посочена в числителя на формулата за g ₂. За това се използва резултатът от дясната колона на предишната таблица:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290.15

По този начин:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1.675

Коефициентът на насочване на Фишер е:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Интерес представлява знака на резултата, който, отрицателно, съответства на платикуртно разпределение, което може да се интерпретира, както беше направено в предишния пример: вероятно това е разнороден курс със студенти с различна степен на интерес или въпросите за изпит бяха на различни нива на трудност.

Използването на електронна таблица като Excel значително улеснява решаването на тези видове проблеми и също така предлага възможността за графизиране на дистрибуцията.

Препратки

1. Levin, R. 1988. Статистика за администраторите. 2-ри. Edition. Prentice Hall.
2. Марко, Ф. Куртоза. Възстановено от: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Асиметрия и куртоза. Възстановени от: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Вземане на решения в мениджмънта. Limusa.
5. Wikipedia. Ексцес. Възстановено от: en.wikipedia.org.