ГРЕШКА В ИЗВАДКАТА: ФОРМУЛИ И УРАВНЕНИЯ, ИЗЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕРИ - ДУДА - 2025

В извадки грешката или вземане на проби грешка в статистиката е разликата между средната стойност на проба и средната стойност на общия брой на населението. За да илюстрираме идеята, нека си представим, че общото население на един град е един милион души, от които искате средният му размер на обувките, за който се взема случайна извадка от хиляда души.

Средният размер, който излиза от извадката, не е задължително да съвпада с този на общата популация, въпреки че, ако извадката не е предубедена, стойността трябва да е близка. Тази разлика между средната стойност на извадката и тази на общата популация е грешката в извадката.

Фигура 1. Тъй като извадката е подмножество от общата съвкупност, средната проба има граница на грешка. Източник: Ф. Сапата.

Като цяло средната стойност на общата съвкупност е неизвестна, но има техники за намаляване на тази грешка и формули за оценка на границата на грешката на извадката, която ще бъде разгледана в тази статия.

Формули и уравнения

Да кажем, че искаме да знаем средната стойност на определена измерима характеристика x в популация с размер N, но тъй като N е голямо число, не е възможно да се извърши изследването върху общата популация, тогава ще пристъпим към вземане на произволна извадка от размер n <

Средната стойност на пробата се обозначава с а средната стойност на общото население се обозначава с гръцката буква µ (четете mu или miu).

Да предположим, че m проби са взети от общата популация N, всички с равен размер n със средни стойности 1>, 2>, 3>….т>.

Тези средни стойности няма да бъдат еднакви помежду си и всички ще бъдат около средната стойност на населението μ. Маржът на грешката в извадката E показва очакваното разделяне на средните стойности спрямо средната стойност на популацията μ в рамките на определен процент, наречен ниво на доверие γ (гама).

Стандартният марж на грешка ε на извадката с размер n е:

ε = σ / √n

където σ е стандартното отклонение (квадратният корен на дисперсията), което се изчислява по следната формула:

σ = √

Значението на стандартния марж на грешка ε е следното:

Средна стойност получена от извадката с размер n се включва в интервала ( - ε, + ε) с ниво на доверие от 68,3%.

Как да изчислим грешката в извадката

В предишния раздел беше дадена формулата за намиране на стандартния марж на грешка на извадка с размер n, където думата стандарт показва, че това е граница на грешка с 68% доверие.

Това показва, че ако са взети много проби с един и същ размер n, 68% от тях ще дадат средни стойности в обхвата.

Съществува просто правило, наречено правило 68-95-99.7, което ни позволява лесно да намерим граница на грешка в извадката E за нива на доверие от 68%, 95% и 99,7%, тъй като този марж е 1⋅ ε, 2 ⋅ ε и 3⋅ ε съответно.

За ниво на увереност

Ако нивото на достоверност γ не е едно от горните, тогава грешката в извадката е стандартното отклонение σ, умножено по коефициента Zγ, което се получава по следната процедура:

1.- Първо се определя нивото на значимост α, което се изчислява от нивото на доверие γ чрез следното съотношение: α = 1 - γ

2.- След това трябва да изчислим стойността 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, която съответства на натрупаната нормална честота между -∞ и Zγ, в нормално или гаусско разпределение, типизирано F (z), чието определение може да се види на фигура 2.

3.- Уравнението F (Zγ) = 1 - α / 2 се решава с помощта на таблиците с нормалното разпределение (кумулативно) F или с помощта на компютърно приложение, което има обратната гаусска функция F ^-1.

В последния случай имаме:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- И накрая, тази формула се прилага за грешка в извадката с ниво на надеждност γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Фигура 2. Таблица на нормалното разпределение. Източник: Wikimedia Commons.

Примери

- Пример 1

Изчислете стандартния марж на грешка в средното тегло на проба от 100 новородени. Изчисляването на средното тегло беше= 3100 kg със стандартно отклонение σ = 1500 kg.

Решение

Стандартната граница на грешка е ε = σ / √n = (1500 кг) / √100 = 0,15 кг. Това означава, че с тези данни може да се заключи, че теглото на 68% от новородените е между 2950 кг и 3,25 кг.

- Пример 2

Определете граница на вземане на проби от грешка E и диапазона на теглото на 100 новородени с 95% ниво на доверие, ако средното тегло е 3100 kg със стандартно отклонение σ = 1500 kg.

Решение

Ако важи правило 68; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, имаме:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

С други думи, 95% от новородените ще имат тегло между 2800 кг и 3400 кг.

- Пример 3

Определете обхвата на теглата на новородените в Пример 1 с марж на достоверност от 99,7%.

Решение

Грешката в извадката с 99,7% надеждност е 3 σ / √n, което за нашия пример е E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Оттук следва, че 99,7% от новородените ще имат тежести между 2650 кг и 3,550 кг.

- Пример 4

Определете фактора Zγ за ниво на доверие от 75%. Определете границата на грешката на извадката с това ниво на надеждност за случая, представен в Пример 1.

Решение

Нивото на доверие е γ = 75% = 0,75, което е свързано с нивото на значимост α чрез връзката γ = (1 - α), така че нивото на значимост е α = 1 - 0,75 = 0, 25.

Това означава, че кумулативната нормална вероятност между -∞ и Zγ е:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Което съответства на Zγ стойност от 1.1503, както е показано на фигура 3.

Фигура 3. Определяне на коефициента Zγ, съответстващ на ниво на доверие от 75%. Източник: Ф. Сапата през Геогебра.

С други думи, грешката на извадката е E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ / √n).

Когато се прилага към данните от пример 1, тя дава грешка от:

Е = 1,15 * 0,15 кг = 0,17 кг

С ниво на доверие от 75%.

- Упражнение 5

Какво е нивото на доверие, ако Z _{α / 2} = 2.4?

Решение

P (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → α = 0.0164

Нивото на значимост е:

α = 0,0164 = 1,64%

И накрая, нивото на доверие остава:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Препратки

1. Canavos, G. 1988. Вероятност и статистика: Приложения и методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Вероятност и статистика за инженерство и наука. 8-ми. Edition. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Статистика за администраторите. 2-ри. Edition. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Задаване на въпроси: Практическо ръководство за проектиране на въпросници. Сан Франциско. Джоси Бас.
5. Walpole, R. 2007. Вероятност и статистика за инженерни науки. Пиърсън.
6. Wonnacott, TH и RJ Wonnacott. 1990. Уводна статистика. 5-ти изд. Уайли
7. Wikipedia. Грешка в извадката. Възстановено от: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Погрешка. Възстановено от: en.wikipedia.com