АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ: КАКВО ИЗУЧАВА, ИСТОРИЯ, ПРИЛОЖЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В аналитичната геометрия проучвания линии и геометрични форми чрез прилагане на основни техники алгебра и математически анализ в дадена координатна система.

Следователно, аналитичната геометрия е клон на математиката, който анализира подробно всички данни на геометрични фигури, тоест обема, ъглите, площта, точките на пресичане, техните разстояния, наред с други.

Основната характеристика на аналитичната геометрия е, че тя позволява представянето на геометрични фигури чрез формули.

Например, обиколките са представени от полиномни уравнения от втора степен, докато линиите са изразени с полиномни уравнения от първа степен.

Аналитичната геометрия възниква през XVII век поради необходимостта да се дадат отговори на проблеми, които досега нямаха решение. Нейни основни представители бяха Рене Декарт и Пиер де Фермат.

Днес много автори го посочват като революционно творение в историята на математиката, тъй като представлява началото на съвременната математика.

История на аналитичната геометрия

Терминът аналитична геометрия възниква във Франция през седемнадесети век поради необходимостта да се дадат отговори на проблеми, които не могат да бъдат решени с помощта на алгебра и геометрия в изолация, но решението се състои в комбинираната употреба на двете.

Основни представители на аналитичната геометрия

През седемнадесети век двама французи случайно в живота извършват изследвания, които по един или друг начин завършват в създаването на аналитична геометрия. Тези хора бяха Пиер де Ферма и Рене Декарт.

В момента се счита, че създателят на аналитичната геометрия е Рене Декарт. Това се дължи на факта, че той публикува книгата си преди тази на Фермат, а също и в дълбочина с Декарт по темата за аналитичната геометрия.

Както Фермат, така и Декарт откриха, че линиите и геометричните фигури могат да бъдат изразени с уравнения, а уравненията могат да бъдат изразени като линии или геометрични фигури.

Според откритията, направени от двамата, може да се каже, че и двете са създателите на аналитичната геометрия.

Пиер де Фермат

Пиер дьо Ферма е френски математик, който е роден през 1601 г. и умира през 1665 г. По време на живота си изучава геометрията на Евклид, Аполоний и Пап, за да разреши проблемите с измерванията, съществували по това време.

По-късно тези изследвания предизвикаха създаването на геометрия. Те в крайна сметка се изразяват в книгата му „Въведение в плоски и твърди места“ (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), която е публикувана 14 години след смъртта му през 1679 година.

Пиер дьо Ферма прилага аналитична геометрия към теоремите на Аполоний върху геометрични места през 1623г. Той беше и първият, който прилага аналитична геометрия в триизмерното пространство.

Рене Декарт

Известен също като Картезий, той е математик, физик и философ, който е роден на 31 март 1596 г. във Франция и умира през 1650 година.

Рене Декарт публикува през 1637 г. книгата си „Дискурс за метода за правилно провеждане на разума и търсене на истината в науката“, по-известен като „Методът“ и оттам в света се въвежда терминът аналитична геометрия. Едно от неговите приложения беше „Геометрия“.

Основни елементи на аналитичната геометрия

Аналитичната геометрия се състои от следните елементи:

Декартова координатна система

Тази система е кръстена на Рене Декарт.

Не той го е кръстил, нито този, който е завършил декартовата координатна система, но той е този, който говори за координати с положителни числа, позволяващи на бъдещите учени да я допълнят.

Тази система се състои от правоъгълната координатна система и полярната координатна система.

Правоъгълни координатни системи

Правоъгълните координатни системи се наричат ​​равнината, образувана от проследяването на две числови линии, перпендикулярни една на друга, където точката на отсечка съвпада с общата нула.

Тогава тази система ще бъде съставена от хоризонтална линия и вертикална.

Хоризонталната линия е оста X или оста на абсцисата. Вертикалната линия би била ос Y или ординатна.

Полярна координатна система

Тази система отговаря за проверката на относителното положение на точка по отношение на фиксирана линия и на фиксирана точка на линията.

Декартово уравнение на линията

Това уравнение се получава от права, когато са известни две точки, през които преминава.

Права

Той е този, който не се отклонява и следователно няма нито криви, нито ъгли.

Conics

Те са кривите, определени от линиите, които преминават през фиксирана точка и от точките на крива.

Елипсата, обиколката, параболата и хиперболата са конични криви. Всеки от тях е описан по-долу.

обиколка

Окръжност се нарича кривата на затворената равнина, която се образува от всички точки на равнината, които са на еднакво разстояние от вътрешна точка, тоест от центъра на обиколката.

притча

Това е мястото на точките на равнината, които са на еднакво разстояние от фиксирана точка (фокус) и фиксирана линия (директриса). Така че директорията и фокусът са това, което определя параболата.

Параболата може да бъде получена като сечение на конусна повърхност на въртене през равнина, успоредна на генератор.

елипса

Затворената крива, която описва точка при движение в равнина, се нарича елипса по такъв начин, че сумата от нейните разстояния до две (2) неподвижни точки (наречени огнища) е постоянна.

хипербола

Хипербола се нарича кривата, дефинирана като място на точките в равнината, за която разликата между разстоянията на две неподвижни точки (огнища) е постоянна.

Хиперболата има ос на симетрия, която преминава през огнищата, наречена фокусна ос. Той също има още един, който е бисектриса на сегмента, който има фиксираните точки в краищата си.

Приложения

Има много приложения на аналитичната геометрия в различни области на ежедневието. Например, можем да намерим параболата, един от основните елементи на аналитичната геометрия, в много от инструментите, които се използват ежедневно днес. Някои от тези инструменти са както следва:

Сателитна чиния

Параболичните антени имат отражател, генериран в резултат на парабола, която се върти по оста на споменатата антена. Повърхността, която се генерира в резултат на това действие, се нарича параболоид.

Тази способност на параболоида се нарича оптично свойство или свойство на отражение на парабола и благодарение на това е възможно параболоидът да отразява електромагнитните вълни, които получава от захранващия механизъм, съставляващ антената.

Висящи мостове

Когато въжето поддържа тежест, която е хомогенна, но в същото време е значително по-голяма от теглото на самото въже, резултатът ще бъде парабола.

Този принцип е основен за изграждането на окачващи мостове, които обикновено се поддържат от широки стоманени кабелни конструкции.

Принципът на параболата в окачващите мостове е бил използван в структури като моста Голдън Гейт, разположен в град Сан Франциско, САЩ, или Големия мост на пролива Акаши, който се намира в Япония и свързва острова на Awaji с Honshū, главният остров на тази страна.

Астрономически анализ

Аналитичната геометрия също има много специфични и решаващи приложения в областта на астрономията. В този случай елементът на аналитичната геометрия, който заема централен етап, е елипсата; Законът на Йоханес Кеплер за движението на планетите отразява това.

Кеплер, немски математик и астроном, определи, че елипсата е кривата, която най-добре отговаря на движението на Марс; По-рано той е тествал кръговия модел, предложен от Коперник, но в разгара на експериментите си той заключи, че елипсата служи за изчертаване на орбита, напълно подобна на тази на планетата, която той изучава.

Благодарение на елипса Кеплер успя да потвърди, че планетите се движат по елиптични орбити; това разглеждане беше изявлението на така наречения втори закон на Кеплер.

От това откритие, обогатено по-късно от английския физик и математик Исак Нютон, беше възможно да се изучат орбитационните движения на планетите и да се увеличат знанията, които имахме за Вселената, от която сме част.

Телескоп Cassegrain

Телескопът Cassegrain е кръстен на своя изобретател, родения във Франция физик Лоран Касегрейн. В този телескоп се използват принципите на аналитичната геометрия, тъй като той се състои главно от две огледала: първото е вдлъбнато и параболично, а второто се характеризира с изпъкнала и хиперболична форма.

Местоположението и естеството на тези огледала позволяват дефектът, известен като сферична аберация, да не се осъществи; Този дефект не позволява светлинните лъчи да се отразяват във фокуса на дадена леща.

Телескопът Cassegrain е много полезен за планетарно наблюдение, както и е доста универсален и лесен за използване.

Препратки

1. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от britannica.com
2. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от encyclopediafmath.org
3. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от khancademy.org
4. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от wikipedia.org
5. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от whitman.edu
6. Аналитична геометрия. Произведено на 20 октомври 2017 г. от stewartcalculus.com
7. Самолетна аналитична геометрия Получена на 20 октомври 2017 г.