МАГНИТНА ИНДУКЦИЯ: ФОРМУЛИ, КАК СЕ ИЗЧИСЛЯВА И ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На магнитната индукция или магнитната индукция се променя околната среда, причинени от наличието на електрически токове. Те променят естеството на пространството, което ги заобикаля, създавайки векторно поле.

Векторната магнитна индукция, плътността на магнитния поток или просто магнитното поле В има три отличителни характеристики: интензитет, изразен с числова стойност, посока и също усещане, дадени във всяка точка в пространството. Тя е подчертана с удебелен шрифт, за да се разграничи от чисто числови или скаларни количества.

Правило на десния палец за определяне на посоката и усещането на вектора на магнитната индукция. Източник: Jfmelero

Правилото за десния палец се използва за намиране на посоката и посоката на магнитното поле, причинено от проводник с ток, както е показано на фигурата по-горе.

Палецът на дясната ръка трябва да сочи по посока на тока. Тогава въртенето на четирите останали пръста показва формата на B, която на фигурата е представена от концентричните червени кръгове.

В такъв случай посоката на В е тангенциална спрямо концентрацията на обиколката с жицата и посоката е обратно на часовниковата стрелка.

Магнитната индукция B в международната система се измерва Tesla (T), но е по-често да се измерва в друга единица, наречена Gauss (G). И двете звена са наречени съответно в чест на Никола Тесла (1856-1943) и Карл Фридрих Гаус (1777-1855) заради изключителния им принос в науката за електричеството и магнетизма.

Какви са свойствата на магнитната индукция или плътността на магнитния поток?

Компас, поставен близо до жив проводник, винаги ще се подрежда с B. Датският физик Ханс Кристиан Ерстед (1777-1851) е първият, който забелязва това явление в началото на 19 век.

И когато токът спре, компасът отново насочва към географски север, както винаги. Чрез внимателна промяна на позицията на компаса, получавате карта на формата на магнитното поле.

Тази карта винаги е във формата на кръгове, концентрирани спрямо жицата, както е описано в началото. По този начин Б.

Дори ако жицата не е права, вектор B ще образува концентрични кръгове около нея. За да определите формата на полето, просто си представете много малки сегменти от тел, толкова малки, че да изглеждат праволинейни и заобиколени от концентрични кръгове.

Линии с магнитно поле, произведени от проводник, носещ ток. Източник: Pixabay.com

Това показва важно свойство на линиите на магнитното поле В: те нямат начало или край, винаги са затворени криви.

Законът на Биот-Саварт

19 век бележи началото на ерата на електричеството и магнетизма в науката. 1820 близо до френските физици Жан Мари Био (1774-1862) и Феликс Savart (1791-1841) открива закона, който носи неговото име и която изчислява вектор Б.

Те направиха следните наблюдения за приноса към магнитното поле, произведено от проводник с различна дължина dl, носещ електрически ток I:

• Величината на B намалява с обратната част на квадрата на разстоянието до жицата (това има смисъл: далеч от жицата интензитетът на B трябва да бъде по-малък, отколкото в близките точки).
• Величината на B е пропорционална на интензитета на тока I, който преминава през жицата.
• Посоката на В е тангенциална спрямо кръга с радиус r, центриран върху жицата, а посоката на B се дава, както казахме, от правилото на десния палец.

Кръстосаният продукт или кръстосаният продукт е подходящият математически инструмент за изразяване на последната точка. За да се създаде векторен продукт, са необходими два вектора, които са дефинирани, както следва:

• d l е векторът, чиято величина е дължината на диференциалния сегмент dl
• r е векторът, който преминава от жицата до точката, в която искате да намерите полето

Формули

Всичко това може да се комбинира в математически израз:

Константата на пропорционалност, необходима за установяване на равенство, е магнитната проницаемост на свободното пространство μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Този израз е законът на Биот и Саварт, който ни позволява да изчислим магнитното поле на токов сегмент.

Такъв сегмент от своя страна трябва да е част от по-голяма и по-затворена верига: разпределение на ток.

Условието, че веригата е затворена, е необходимо за протичане на електрически ток. Електрическият ток не може да тече в отворени вериги.

Накрая, за да се намери общото магнитно поле на споменатото разпределение на тока, се прибавят всички приноси на всеки диференциален сегмент d l. Това е еквивалентно на интегриране в цялата дистрибуция:

За да приложите закона на Biot-Savart и да изчислите вектора на магнитната индукция, е необходимо да се разгледат някои много важни важни точки:

• Кръстосаният продукт между два вектора винаги води до друг вектор.

• 

• Удобно е да се намери векторният продукт, преди да се пристъпи към разделянето на интеграла, тогава интегралът на всеки от получените компоненти се решава.
• Необходимо е да се направи картина на ситуацията и да се създаде подходяща координатна система.
• Всеки път, когато се наблюдава някаква симетрия, тя трябва да се използва, за да се спести време за изчисление.
• Когато съществуват триъгълници, Питагоровата теорема и теоремата за косинусите са много полезни за установяване на геометричната връзка между променливите.

Как се изчислява?

Тези препоръки се прилагат с практически пример за изчисляване на B за права жица.

пример

Изчислете вектора на магнитното поле, който много голяма праволинейна жица произвежда в точка P в пространството, според показаната фигура.

Геометрия, необходима за изчисляване на магнитното поле в точка P, на безкрайно дълъг токов проводник. Източник: самостоятелно направен.

От фигурата трябва да:

• Проводникът е насочен във вертикална посока, като ток I тече нагоре. Тази посока е + y в координатната система, чийто произход е в точка O.

• 

• В този случай, според правилото на десния палец, B в точка P е насочена към вътрешността на хартията, следователно се обозначава с малък кръг и "x" на фигурата. Този адрес ще бъде приет като -z.
• Десният триъгълник, чиито крака са y и R, свързва и двете променливи съгласно теоремата на Питагор: r ² = R ² + y ²

Всичко това се замества в интеграла. Кръстосаният продукт или кръстът се обозначава с неговата величина плюс неговата посока и смисъл:

Предложеният интеграл се намира в таблица с интеграли или се решава чрез подходящо тригонометрично заместване (четецът може да провери резултата, използвайки y = Rtg θ):

Резултатът съответства на очакваното: величината на полето намалява с разстояние R и нараства пропорционално на интензивността на тока I.

Въпреки че безкрайно дългият проводник е идеализация, полученият израз е много добро приближение за полето на дълга жица.

Със закона на Биот и Саварт е възможно да се намери магнитното поле на други силно симетрични разпределения, като например кръгова верига, която носи ток, или огънати проводници, съчетаващи праволинейни и криволинейни сегменти.

Разбира се, за да се реши аналитично предложеният интеграл, проблемът трябва да има висока степен на симетрия. В противен случай алтернативата е да решим интеграла числено.

Препратки

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Физика за наука и инженерство. Том 2. Мексико. Cengage Learning Editors. 367-372.