ЗАКОНИ НА КЕПЛЕР: ОБЯСНЕНИЕ, УПРАЖНЕНИЯ, ЕКСПЕРИМЕНТ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В Кеплер е закони за движението на планетите са извършени от немския астроном Йоханес Кеплер (1571-1630). Кеплер ги извежда въз основа на работата на своя учител датския астроном Тихо Брахе (1546-1601).

Брахе внимателно компилира данните на планетарните движения за повече от 20 години, с изненадваща точност и точност, като се има предвид, че по онова време телескопът още не е бил изобретен. Валидността на вашите данни остава валидна и днес.

Фигура 1. Орбитите на планетите според законите на Кеплер. Източник: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

3 закона на Кеплер

Законите на Кеплер гласят:

-Първ закон: всички планети описват елиптични орбити със Слънцето в един от огнищата.

Това означава, че съотношението T ² / r ³ е едно и също за всички планети, което дава възможност да се изчисли орбиталният радиус, ако орбиталният период е известен.

Когато T се изразява в години и r в астрономически единици AU *, константата на пропорционалност е k = 1:

* Астрономическата единица се равнява на 150 милиона километра, което е средното разстояние между Земята и Слънцето. Орбиталният период на Земята е 1 година.

Законът на универсалната гравитация и третият закон на Кеплер

Универсалният закон на гравитацията гласи, че величината на гравитационната сила на привличане между два обекта от маси M и m съответно, чиито центрове са разделени на разстояние r, се дава от:

G е универсалната константа на гравитацията и нейната стойност е G = 6.674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Сега орбитите на планетите са елиптични с много малък ексцентриситет.

Това означава, че орбитата не е много далеч от обиколка, освен в някои случаи като планетата джудже Плутон. Ако приближим орбитите до кръговата форма, ускорението на движението на планетата е:

Тъй като F = ma, имаме:

Тук v е линейната скорост на планетата около Слънцето, приета статична и с маса M, докато тази на планетата е m. Така:

Това обяснява, че планетите по-отдалечени от Слънцето имат по-ниска орбитална скорост, тъй като това зависи от 1 / √r.

Тъй като разстоянието, което планетата изминава, е приблизително дължината на обиколката: L = 2πr и отнема време, равно на T, орбиталния период, получаваме:

Приравняването на двата израза за обем дава валиден израз за T ², площада на орбиталния период:

И това е точно третия закон на Кеплер, тъй като в този израз скобите 4π ² / GM е постоянна, следователно T ² е пропорционална на повдигнат на трета степен разстояние R.

Окончателното уравнение за орбиталния период се получава, като вземем квадратния корен:

Фигура 3. Афелион и перихелион. Източник: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Публично достояние

Следователно, ние заместваме r с a в третия закон на Кеплер, който води до Халей в:

Решение b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

експеримент

Анализът на движението на планетите изисква седмици, месеци и дори години внимателно наблюдение и запис. Но в лабораторията може да се проведе много прост експеримент в много прост мащаб, за да се докаже, че законът на Кеплер за равни площи е валиден.

Това изисква физическа система, в която силата, която управлява движението, е централна, достатъчно условие за изпълнение на закона на областите. Такава система се състои от маса, вързана към дълго въже, като другият край на конеца е фиксиран към опора.

Масата се премества на малък ъгъл от нейното равновесно положение и получава лек импулс, така че да изпълнява овално (почти елиптично) движение в хоризонталната равнина, сякаш е планета около Слънцето.

На кривата, описана от махалото, можем да докажем, че тя помещава равни части в равни времена, ако:

-Разглеждаме векторни радиуси, които отиват от центъра на привличане (начална точка на равновесие) до позицията на масата.

-И ние помитаме между две последователни моменти с еднаква продължителност, в две различни области на движението.

Колкото по-дълъг е нивото на махалото и по-малък е ъгълът от вертикалата, нето възстановяващата сила ще бъде по-хоризонтална, а симулацията наподобява случая на движение с централна сила в равнина.

Тогава описаният овал се приближава до елипса, като тази, която пътуват планетите.

материали

-Неразличима нишка

-1 маса или метална топка, боядисана в бяло, която играе ролята на махало

-Владетел

-Conveyor

-Фотографска камера с автоматичен строб диск

-Поддържа

-Две източника на осветление

-Лист черна хартия или картон

процес

Сглобяването на фигурата е необходимо, за да се направят снимки на множество светкавици на махалото, докато той следва своя път. За целта трябва да поставите камерата точно над махалото и автоматичния строб диск пред обектива.

Фигура 4. Сглобяване на махалото, за да се провери дали той мете равни площи в равни времена. Източник: Ръководство за лаборатория на PSSC.

По този начин изображенията се получават на редовни интервали от време на махалото, например на всеки 0,1 или на всеки 0,2 секунди, което ни позволява да знаем времето, необходимо за преминаване от една точка в друга.

Също така трябва да осветите правилно масата на махалото, като поставите светлините от двете страни. Лещата трябва да бъде боядисана в бяло, за да подобри контраста на фона, който се състои от черна хартия, разпространена по земята.

Сега трябва да проверите дали махалото помита равни части за равни времена. За целта се избира интервал от време и точките, заети от махалото в този интервал, се отбелязват на хартията.

На изображението се очертава линия от центъра на овала до тези точки и по този начин ще имаме първата от областите, пометена от махалото, което е приблизително елиптичен сектор като този, показан по-долу:

Фигура 5. Площ на елиптичен сектор. Източник: Ф. Сапата.

Изчисляване на площта на елиптичното сечение

С транспортиращото устройство се измерват ъглите θ _o и θ ₁ и тази формула се използва за намиране на S, площта на елиптичния сектор:

С F (θ), даден от:

Обърнете внимание, че a и b са главните и второстепенните полуоси. Читателят трябва само да се тревожи за внимателното измерване на полуосите и ъглите, тъй като има калкулатори онлайн, за да оцени лесно този израз.

Ако обаче настоявате да направите изчислението на ръка, не забравяйте, че ъгълът θ се измерва в градуси, но когато въвеждате данните в калкулатора, стойностите трябва да бъдат изразени в радиани.

След това трябва да маркирате друга двойка точки, в които махалото е обърнато същия интервал от време и да нарисувате съответната област, изчислявайки стойността му със същата процедура.

Проверка на закона за равните площи

И накрая, остава да се провери дали законът на районите е изпълнен, тоест, че равни равнища са пометени в равни времена.

Резултатите малко ли се отклоняват от очакваното? Винаги трябва да се има предвид, че всички измервания са придружени от съответната експериментална грешка.

Препратки

1. Онлайн калкулатор Keisan. Площ на калкулатор на елиптичен сектор. Възстановено от: keisan.casio.com.
2. Openstax. Закон на Кеплер за планетарното движение. Възстановено от: openstax.org.
3. PSSC. Лабораторна физика. Редакционно реверте. Възстановени от: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Астрономия. Серия Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Проста система с централна сила. Възстановени от: francesphysics.blogspot.com
6. Стърн, трите закона на планетата на Д. Кеплер. Възстановена от: phy6.org.