АТОМЕН МОДЕЛ НА ДИРАК ЙОРДАН: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПОСТУЛАТИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В Дирак-Jordan атомен модел е релативистично обобщение на Hamiltonian оператора в уравнението, който описва квантова вълна функцията на електрона на. За разлика от предишния модел, този на Schrodinger, не е необходимо да се налага въртенето чрез принципа на изключване на Pauli, тъй като той изглежда естествено.

В допълнение, моделът на Дирак-Йордан включва релативистични корекции, взаимодействие на спин-орбита и термина на Дарвин, които отчитат фината структура на електронните нива на атома.

Фигура 1. Електронни орбитали във водородния атом за първите три енергийни нива. Източник: Wikimedia Commons.

От 1928 г. учените Пол А. М. Дирак (1902-1984 г.) и Паскуал Йордан (1902-1980 г.) имат за цел да обобщят квантовата механика, разработена от Шрьодингер, така че тя да включва специалните корекции на относителността на Айнщайн.

Дирак започва от уравнението на Шрьодингер, което се състои от диференциален оператор, наречен Хамилтонов, който работи върху функция, известна като функция на електронната вълна. Шрьодингер обаче не взе предвид релативистките ефекти.

Решенията на вълновата функция ни позволяват да изчислим областите, в които с определена степен на вероятност електронът ще се намери около ядрото. Тези региони или зони се наричат ​​орбитали и зависят от определени дискретни квантови числа, които определят енергията и ъгловия импулс на електрона.

постулати

В квантово-механичните теории, независимо дали са релативистични или не, няма понятие за орбитите, тъй като нито позицията, нито скоростта на електрона не могат да се определят едновременно. Освен това, посочването на една от променливите води до пълна неточност в другата.

От своя страна хамилтонианът е математически оператор, който действа върху квантовата вълнова функция и е изграден от енергията на електрона. Например, свободният електрон има обща енергия E, която зависи от неговата линейна импулс p така:

E = (p ²) / 2m

За да изградим хамилтониана, започваме от този израз и заместваме p на квантовия оператор за инерция:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Важно е да се отбележи, че термините p и p са различни, тъй като първият е импулсът, а вторият е диференциалният оператор, свързан с импулса.

Освен това i е въображаемата единица и ħ константата на Планк, разделена на 2π, по този начин се получава хамилтоновият оператор H на свободния електрон:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

За да намерите хамилтониана на електрона в атома, добавете взаимодействието на електрона с ядрото:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

В предишния израз -е е електрическият заряд на електрона и Φ (r) електростатичният потенциал, произведен от централното ядро.

Сега операторът H действа на вълновата функция ψ според уравнението на Schrodinger, което е написано така:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Четирите постулата на Дирак

Първи постулат: релативисткото уравнение на вълната има същата структура като уравнението на вълната на Шродингер, което се променя с Н:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Втори постулат: Хамилтоновият оператор е конструиран, като се започне от връзката на Айнщайн енергия-импулс, която се записва, както следва:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

В предишното отношение, ако частицата има импулс p = 0, тогава имаме известното уравнение E = mc ^2, което свързва енергията в покой на всяка частица с маса m със скоростта на светлината c.

Трети постулат: за получаване на оператора Хамилтонов се използва същото правило за квантоване, използвано в уравнението на Шрьодингер:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

В началото не беше ясно как да се справи с този диференциален оператор, действащ в рамките на квадратен корен, затова Dirac се зае да получи линеен хамилтонов оператор на оператора на импулса и оттам възникна четвъртият му постулат.

Четвърти постулат: за да се отървем от квадратния корен във формулата на релативистката енергия, Dirac предложи следната структура за E ²:

Разбира се, необходимо е да се определят алфа коефициентите (α0, α1, α2, α3), за да е това вярно.

Уравнение на Дирак

В своята компактна форма уравнението на Дирак се счита за едно от най-красивите математически уравнения в света:

Фигура 2. Дираково уравнение в компактна форма. Източник: Ф. Сапата.

И тогава става ясно, че постоянните алфа не могат да бъдат скаларни количества. Единственият начин, по който се изпълнява равенството на четвъртия постулат е, че те са постоянни 4 × 4 матрици, които са известни като матрици на Dirac:

Веднага забелязваме, че вълновата функция престава да бъде скаларна функция и се превръща във вектор с четири компонента, наречени спинор:

Атома на Дирак - Йордания

За получаване на атомния модел е необходимо да се премине от уравнението на свободния електрон към това на електрона в електромагнитното поле, произведено от атомното ядро. Това взаимодействие се взема предвид чрез включване на скаларния потенциал Φ и векторния потенциал A в хамилтоновия:

Вълновата функция (спинор), която е резултат от включването на този хамилтониан, има следните характеристики:

- Изпълнява специална относителност, тъй като отчита присъщата енергия на електрона (първи термин на релативистичния хамилтонов)

- Той има четири решения, съответстващи на четирите компонента на спинора

- Първите две решения съответстват на едно на въртене + ½, а на другото на въртене - ½

- И накрая, другите две решения предсказват съществуването на антиматерия, тъй като съответстват на този на позитрони с противоположни завъртания.

Голямото предимство на уравнението на Дирак е, че корекциите на основния хамилтонов H (o) на Schrodinger могат да бъдат разбити на няколко термина, които ще покажем по-долу:

В предишния израз V е скаларният потенциал, тъй като векторният потенциал A е нулев, ако централният протон се приеме за неподвижен и следователно не се появява.

Причината корекциите на Dirac към решенията на Schrodinger във вълновата функция са фини. Те произтичат от факта, че последните три члена на коригирания хамилтониан всички са разделени от скоростта c на квадратна светлина, огромен брой, което прави тези термини числено малки.

Релативистични корекции на енергийния спектър

Използвайки уравнението на Дирак - Йордан, намираме корекции в енергийния спектър на електрона във водородния атом. Корекциите за енергия в атоми с повече от един електрон в приблизителна форма също се намират чрез методология, известна като теория на смущения.

По същия начин моделът на Dirac ни позволява да намерим корекцията на фината структура в нивата на водородна енергия.

Въпреки това, още по-фините корекции като хипер фината структура и изменението на Ламбата се получават от по-напреднали модели като теорията на квантовото поле, която се роди именно от приноса на модела на Дирак.

Следващата фигура показва как изглеждат релативистките корекции на Dirac към нивата на енергия:

Фигура 3. Корекции на модела Dirac спрямо нивата на водородния атом. Източник: Wikimedia Commons.

Например, решенията на уравнението на Дирак правилно предвиждат наблюдавано изместване на ниво 2s. Това е добре известната корекция на фината структура в лимон-алфа линия на водородния спектър (виж фигура 3).

Между другото, фината структура е името, дадено в атомната физика на удвояването на линиите на емисионния спектър на атомите, което е пряко следствие от електронното въртене.

Фигура 4. Разделяне на фината структура за основното състояние n = 1 и първото възбудено състояние n = 2 във водородния атом. Източник: R Wirnata. Релативистични корекции на водородни атоми. Researchgate.net

Предмети за интерес

Атомен модел на Де Бройл.

Атомен модел на Чадуик.

Атомен модел на Хайзенберг.

Атомен модел на Перин.

Атомен модел на Томсън.

Атомен модел на Далтън.

Атомен модел на Шрьодингер.

Атомен модел на Демокрит.

Атомен модел на Бор.

Препратки

1. Атомна теория. Възстановено от wikipedia.org.
2. Електрон магнитен момент. Възстановено от wikipedia.org.
3. Quanta: Наръчник с концепции. (1974). Oxford University Press. Възстановено от Wikipedia.org.
4. Атомен модел Dirac Jordan. Възстановено от prezi.com.
5. Новата квантова вселена. Cambridge University Press. Възстановено от Wikipedia.org.