ИНЕРЦИОНЕН МОМЕНТ: ФОРМУЛИ, УРАВНЕНИЯ И ПРИМЕРИ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В момента на инерция на твърдо тяло по отношение на определена ос на въртене представлява неговата устойчивост на промяна на ъгловата скорост около оста. Той е пропорционален на масата, а също и на местоположението на оста на въртене, тъй като тялото, в зависимост от неговата геометрия, може да се върти по-лесно около определени оси, отколкото в други.

Да предположим голям обект (състоящ се от много частици), който може да се върти около ос. Да предположим, че сила F действа, приложена тангенциално върху елемента с маса Δm _i, който произвежда въртящ момент или момент, даден от τ _net = ∑ r _i x F _i. Векторът r _i е позицията на Δm _i (виж фигура 2).

Фигура 1. Моменти на инерция на различни фигури. Източник: Wikimedia Commons.

Този момент е перпендикулярен на равнината на въртене (посока + k = напускане на хартията). Тъй като силата и радиалният вектор на положение винаги са перпендикулярни, напречният продукт остава:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Фигура 2. Частица, принадлежаща на твърдо твърдо вещество при въртене. Източник: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Том 1. Учене по ченгета.

Ускорението a _i представлява тангенциалната компонента на ускорението, тъй като радиалното ускорение не допринася за въртящия момент. Като функция на ъгловото ускорение α, можем да посочим, че:

Следователно нетният въртящ момент изглежда така:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Ъгловото ускорение α е едно и също за целия обект, следователно не се влияе от индекса „i“ и може да остави сумирането, което е точно моментът на инерцията на обекта, символизиран от буквата I:

Това е инерционният момент на дискретно разпределение на масата. Когато разпределението е непрекъснато, сумирането се заменя с интеграл и Δm се превръща в диференциал на масата dm. Интегралът се осъществява върху целия обект:

Единиците за инерционния момент в международната система SI са kg xm ². Това е скаларно и положително количество, тъй като е продукт на маса и квадрат на разстояние.

Примери за изчисление

Разширен обект, като лента, диск, сфера или други, чиято плътност ρ е постоянна и знаейки, че плътността е съотношението маса-обем, диференциалът на масата dm се записва като:

Заменяйки интеграла за инерционния момент, имаме:

Това е общ израз, валиден за триизмерен обект, чийто обем V и позиция r са функции на пространствените координати x, y и z. Имайте предвид, че като е постоянна, плътността е извън интеграла.

Плътността ρ е известна още като насипна плътност, но ако обектът е много плосък, като лист или много тънък и тесен като пръчка, могат да се използват други форми на плътност, нека видим:

- За много тънък лист използваната плътност е σ, повърхностната плътност (маса на единица площ) и dA е разликата в площта.

- И ако това е тънка лента, където има значение само дължината, се използват линейната плътност на масата λ и разликата на дължината, според оста, използвана като еталон.

В следващите примери всички обекти се считат за твърди (не деформируеми) и имат еднаква плътност.

Инерционен момент на тънка лента по отношение на ос, минаваща през центъра му

Тук ще изчислим инерционния момент на тънка, твърда, хомогенна лента с дължина L и маса М по отношение на ос, която преминава през средата.

Първо, е необходимо да се създаде координатна система и да се изгради фигура със съответната геометрия, като тази:

Фигура 3. Геометрия за изчисляване на инерционния момент на тънък прът по отношение на вертикална ос, която минава през центъра му. Източник: Ф. Сапата.

Оста на въртене и оста y са избрани като ос на въртене. Процедурата за установяване на интеграла също изисква избор на диференциал на масата на лентата, наречена dm, която има диференциална дължина dx и е разположена в произволното положение x, по отношение на центъра x = 0.

Според определението на линейната плътност на масата λ:

Тъй като плътността е еднаква, което е валидно за M и L, тя е валидна и за dm и dx:

От друга страна, масовият елемент е в позиция x, така че замествайки тази геометрия в дефиницията, имаме определен интеграл, чиито граници са краищата на лентата според координатната система:

Заместване на линейната плътност λ = M / L:

За да намерите инерционния момент на лентата по отношение на друга ос на въртене, например тази, която минава през един от нейните краища, можете да използвате теоремата на Щайнер (вижте упражнението, решено в края) или да извършите директно изчисление, подобно на показаното тук, но променяйки геометрията по подходящ начин.

Инерционен момент на диск по отношение на ос, минаваща през центъра му

Много тънък диск с незначителна дебелина е плоска фигура. Ако масата е равномерно разпределена по цялата повърхност на площ А, плътността на масата σ е:

Както dm, така и dA съответстват на масата и площта на диференциалния пръстен, показани на фигурата. Ще приемем, че целият монтаж се върти около оста y.

Можете да си представите, че дискът е съставен от много концентрични пръстени с радиус r, всеки със съответния инерционен момент. Като прибавим приноса на всички пръстени, докато достигнем радиуса R, ще имаме общия инерционен момент на диска.

Фигура 4. Геометрия за изчисляване на инерционния момент на диск по отношение на оста на оста. Източник: Ф. Сапата.

Където М представлява цялата маса на диска. Площта на диска зависи от неговия радиус r като:

Извличане по отношение на r:

Подмяна на горното в определението на I:

Замествайки σ = M / (π.R ²), получаваме:

Инерционен момент на плътна сфера около диаметър

Една сфера с радиус R може да се разглежда като поредица от дискове, подредени един върху друг, където всеки диск с безгранична маса dm, радиус r и дебелина dz има инерционен момент, даден от:

За да намерим този диференциал, просто взехме формулата от предишния раздел и заместихме M и R съответно за dm и r. Диск като този може да се види в геометрията на фигура 5.

Фигура 5. Геометрия за изчисляване на инерционния момент на плътна сфера с радиус R по отношение на ос, която преминава през диаметър. Източник: Ф. Сапата.

Чрез добавяне на всички безкрайно малки инерционни моменти на подредени дискове се получава общият инерционен момент на сферата:

Което е еквивалентно на:

За да решите интеграла, трябва да изразите dm по подходящ начин. Както винаги, тя се постига от плътността:

Обемът на диференциалния диск е:

Височината на диска е дебелината dz, докато площта на основата е πr ², следователно:

И подмяната в предложения интеграл ще изглежда така:

Но преди да се интегрираме, трябва да наблюдаваме, че r - радиусът на диска - зависи от z и R - радиусът на сферата, както се вижда от фигура 5. Използвайки теоремата на Питагор:

Което ни води до:

За да се интегрираме през цялата сфера, трябва да отбележим, че z варира между –R и R, следователно:

Знаейки, че ρ = M / V = ​​M / се получава най-накрая, след опростяване:

Инерционен момент на твърд цилиндър по отношение на аксиалната ос

За този обект се използва метод, подобен на този, използван за сферата, само че този път е по-лесно, ако въображението на цилиндъра е съставено от цилиндрични обвивки с радиус r, дебелина dr и височина H, сякаш са слоевете лук.,

Фигура 6. Геометрия за изчисляване на инерционния момент на твърд цилиндър с радиус R по отношение на оста на оста. Източник: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Том 1. Закупуване.

Обемът dV на цилиндричен слой е:

Следователно масата на черупката е:

Този израз се замества в дефиницията на инерционния момент:

Горното уравнение показва, че инерционният момент на цилиндъра не зависи от неговата дължина, а само от неговата маса и радиус. Ако L се промени, инерционният момент около оста на оста ще остане същият. По тази причина I на цилиндъра съвпада с този на предишно изчисления тънък диск.

Инерционен момент на правоъгълен лист по отношение на ос, минаваща през центъра му

Хоризонталната у-ос е избрана като ос на въртене. Фигурата по-долу показва геометрията, необходима за осъществяване на интеграцията:

Фигура 7. Геометрия за изчисляване на инерционния момент на правоъгълна плоча по отношение на ос, успоредна на листа и преминаваща през центъра му. Източник: Ф. Сапата.

Елементът на зоната, маркиран в червено, е правоъгълен. Площта му е основна х височина, следователно:

Следователно диференциалът на масата е:

Що се отнася до разстоянието от областния елемент до оста на въртене, то винаги е z. Заместваме всичко това в интеграла на инерционния момент:

Сега плътността на повърхностната маса σ се заменя с:

И определено изглежда така:

Обърнете внимание, че е като тънката лента.

Инерционен момент на квадратен лист по отношение на ос, минаваща през центъра му

За квадрат със страна L в предишния израз, валиден за правоъгълник, просто заместете стойността на b за тази на L:

Момент на инерционни теореми

Има две особено полезни теореми за опростяване на изчисляването на инерционните моменти по отношение на други оси, които в противен случай биха могли да бъдат трудни за намиране поради липсата на симетрия. Тези теореми са:

Теорема на Щайнер

Наричана още теорема за паралелните оси, тя свързва инерционния момент по отношение на ос с друга, която преминава през центъра на масата на обекта, стига осите да са успоредни. За да се приложи, е необходимо да се знае разстоянието D между двете оси и разбира се масата M на обекта.

Нека I _{z е} инерционният момент на обект, удължен по отношение на оста z, аз _СМ моментът на инерцията по отношение на ос, която преминава през центъра на масата (СМ) на споменатия обект, тогава се удовлетворява, че:

Или в обозначението на следната фигура: I _{z '} = I _z + Md ²

Фигура 8. Теорема на Щайнер или паралелни оси. Източник: Wikimedia Commons. Джак Виж

Теорема за перпендикулярни оси

Тази теорема се прилага към равнинни повърхности и върви така: инерционният момент на плосък предмет около перпендикулярна на него ос е сумата от инерционните моменти около две оси, перпендикулярни на първата ос:

Фигура 9. Теорема за перпендикулярни оси. Източник: Ф. Сапата.

Ако обектът има симетрия такава, че I _x и I _y са равни, тогава е вярно, че:

Упражнението е разрешено

Намерете инерционния момент на пръта по отношение на ос, която преминава през един от нейните краища, както е показано на фигура 1 (отдолу и вдясно) и фигура 10.

Фигура 10. Инерционен момент на хомогенна лента около ос, която минава през единия край. Източник: Ф. Сапата.

Решение:

Вече имаме инерционния момент на лентата около ос, която минава през нейния геометричен център. Тъй като лентата е хомогенна, нейният център на маса е в този момент, така че това ще бъде нашата I _{СМ, за} да приложим теоремата на Щайнер.

Ако дължината на лентата е L, оста z е на разстояние D = L / 2, следователно:

Препратки

1. Bauer, W. 2011. Физика за инженерство и науки. Том 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Рекс, А. 2011. Основи на физиката. Пиърсън. 190-200.
3. Теорема за паралелна ос. Възстановени от: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Физика за наука и инженерство. Том 1. Закупуване.
5. Университет в Севиля. Инерционният момент на сферичните твърди частици. Възстановено от: laplace.us.es.
6. Университет в Севиля. Инерционен момент на система от частици. Възстановено от: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Теорема за паралелна ос. Възстановено от: en.wikipedia.org