ЕДНОМЕРНИ ВЪЛНИ: МАТЕМАТИЧЕСКИ ИЗРАЗ И ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

Двустайни размерите вълни са тези, които се разпространяват само в една посока, независимо от това дали вибрациите се среща в същата посока на разпространение или не. Добър пример за това е вълната, която преминава през опъната струна като тази на китара.

В напречна равнинна вълна частиците вибрират във вертикална посока (те се издигат и падат, вижте червената стрелка на фигура 1), но тя е едномерна, тъй като смущаването пътува само в една посока, следвайки жълтата стрелка.

Фигура 1: Изображението представлява едноизмерна вълна. Обърнете внимание, че хребетите и долините образуват линии, успоредни една на друга и перпендикулярни на посоката на разпространение. Източник: самостоятелно направен.

Едномерните вълни се появяват доста често в ежедневието. В следващия раздел са описани някои примери за тях, а също и за вълни, които не са едномерни, за да се установят ясно разликите.

Примери за едномерни вълни и недвумерни вълни

Едномерни вълни

Ето няколко примера за едномерни вълни, които лесно могат да бъдат наблюдавани:

- Звуков импулс, който пътува през права лента, тъй като това е смущение, което се разпространява по цялата дължина на лентата.

- Вълна, която се движи по воден канал, дори когато изместването на водната повърхност не е успоредно на канала.

- Вълните, които се разпространяват по повърхност или през триизмерно пространство, също могат да бъдат едномерни, стига вълновите им фронтове да са равнини успоредни един на друг и да пътуват само в една посока.

Не едномерни вълни

Пример за недвумерна вълна се намира във вълни, които се образуват върху неподвижна водна повърхност при падане на камък. Това е двуизмерна вълна с цилиндрична вълна.

Фигура 2. Изображението представлява пример за това, което едномерна вълна НЕ Е. Обърнете внимание, че гребените и долините образуват кръгове и посоката на разпространение е радиална навън, тогава тя е кръгова двуизмерна вълна. Източник: Pixabay

Друг пример за недвуизмерна вълна е звуковата вълна, която огнестрелник генерира чрез експлозия на определена височина. Това е триизмерна вълна със сферични вълнови фронтове.

Математически израз на едномерна вълна

Най-общият начин за изразяване на едноизмерна вълна, която се разпространява без затихване в положителната посока на оста xy със скорост v, е математически:

В този израз y представлява смущение в позиция x по време t. Формата на вълната се дава от функцията f. Например вълновата функция, показана на фигура 1, е: y (x, t) = cos (x - vt) и вълновото изображение съответства на момента t = 0.

Вълна като тази, описана от косинус или синусова функция, се нарича хармонична вълна. Въпреки че не е единствената форма на вълната, която съществува, тя е от изключително значение, тъй като всяка друга вълна може да бъде представена като суперпозиция или сума от хармонични вълни. Това е добре познатата теорема на Фурие, толкова широко използвана за описване на сигнали от всякакъв вид.

Когато вълната пътува в отрицателна посока на оста x, просто променете v в -v в аргумент, оставяйки:

Фигура 3 показва анимацията на вълна, пътуваща вляво: тя е форма, наречена Лоренцианска функция и нейният математически израз е:

В този пример скоростта на разпространение е v = 1, една единица пространство за всяка единица време-.

Фигура 3. Пример за лоренцова вълна, пътуваща вляво със скорост v = 1. Източник: Изготвил Ф. Сапата с Геогебра.

Едномерно вълново уравнение

Уравнението на вълната е частично производно уравнение, чието решение разбира се е вълна. Той установява математическата връзка между пространствената част и временната част от нея и има формата:

Работен пример

По-долу е общият израз y (x, t) за хармонична вълна:

а) Опишете физическото значение на параметрите A, k, ω и θo.

б) Какво значение имат знаците ± в аргумента на косинуса?

в) Проверете дали даденият израз наистина е решение на вълновото уравнение на предишния раздел и намерете скоростта v на разпространение.

Решение за)

Характеристиките на вълната се намират в следните параметри:

Второ производно по отношение на t: ∂ ² и / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Тези резултати се заместват в уравнението на вълната:

И А, и косинусът са опростени, тъй като те се появяват от двете страни на равенството и аргументът на косинуса е един и същ, следователно изразът се свежда до:

Което позволява да се получи уравнение за v по отношение на ω и k:

Препратки

1. E-образователна. Уравнение на едномерни хармонични вълни. Възстановени от: e-ducativa.catedu.es
2. Ъгълът на физиката. Вълнови класове. Възстановени от: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Вълни и квантова физика. Серия: Физика за наука и инженерство. Редактиран от Дъглас Фигероа. Университета Симон Боливар. Каракас Венецуела.
4. Лаборатория по физика. Движение на вълната. Възстановено от: fisicalab.com.
5. Пърс, А. Лекция 21: Едномерното вълново уравнение: Решение на Д'Аламберт. Възстановени от: ubc.ca.
6. Уравнение на вълната. Възстановено от: en.wikipedia.com