ПАРАЛЕЛЕПИПЕД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВИДОВЕ, ПЛОЩ, ОБЕМ - МАТЕМАТИКА - 2025

А паралелепипед е геометрично тяло се състои от шест лица, основната характеристика на които е, че всички от неговите страни са паралелограми и също така, че нейните срещуположни повърхности са паралелни една на друга. Той е обикновен многогранник в ежедневието ни, тъй като можем да го намерим в кутии за обувки, формата на тухла, формата на микровълнова фурна и т.н.

Като полиедър, паралелепипедът обхваща ограничен обем и всичките му лица са плоски. Той е част от групата на призмите, които са онези многогранници, в които всичките му върхове се съдържат в две успоредни равнини.

Елементи на паралелепипеда

Faces

Те са всеки от регионите, образувани от паралелограми, които ограничават паралелепипеда. Паралелепипедът има шест лица, където всяко лице има четири съседни лица и едно противоположно. Също така всяко лице е успоредно с неговата противоположност.

Ръбовете

Те са общата страна на две лица. Общо паралелепипедът има дванадесет ръба.

връх

Това е общата точка на три лица, които са съседни един на друг две по две. Паралелепипед има осем върха.

диагонал

Като имаме предвид две лица на паралелепипед, противоположни един на друг, можем да изчертаем линеен сегмент, който преминава от върха на едното лице към противоположния връх на другия.

Този сегмент е известен като диагоналът на паралелепипеда. Всеки паралелепипед има четири диагонала.

център

Това е точката, в която всички диагонали се пресичат.

Характеристики на Паралелепипеда

Както вече споменахме, това геометрично тяло има дванадесет ръба, шест лица и осем върха.

В паралелепипед могат да се идентифицират три множества, образувани от четири ръба, които са успоредни един на друг. Освен това, ръбовете на споменатите набори също имат свойството да имат еднаква дължина.

Друго свойство, което паралелепипедите притежават е, че те са изпъкнали, тоест ако вземем някоя двойка точки, принадлежащи към вътрешността на паралелепипеда, сегментът, определен от споменатата двойка точки, също ще бъде в рамките на паралелепипеда.

В допълнение, паралелепипедите, които са изпъкнали многогранници, отговарят на теоремата на Ойлер за многоедри, което ни дава връзка между броя на лицата, броя на ръбовете и броя на върховете. Тази връзка е дадена под формата на следното уравнение:

C + V = A + 2

Тази характеристика е известна като Ойлерова характеристика.

Където C е броят на лицата, V - броят на върховете и A - броят на ръбовете.

Видове

Можем да класифицираме паралелепипедите въз основа на техните лица в следните типове:

Orthohedron

Те са паралелепипедите, където техните лица са оформени от шест правоъгълника. Всеки правоъгълник е перпендикулярен на тези, които споделят ръб. Те са най-често срещаните в ежедневието ни, като това е обичайната форма на кутии за обувки и тухли.

Редовен куб или шестоъгълник

Това е особен случай от предишния, където всяко от лицата е квадрат.

Кубът също е част от геометричните тела, наречени платонови твърди частици. Платоново твърдо вещество е изпъкнал многогранник, така че както неговите лица, така и вътрешните му ъгли са равни една на друга.

ромбохедронен

Той е паралелепипед с ромбове за лицето си. Всички тези ромби са равни една на друга, тъй като споделят ръбове.

ромбохедронен

Шестте й лица са ромбоиди. Спомнете си, че ромбоидът е многоъгълник с четири страни и четири ъгъла, които са равни два на две. Ромбоидите са паралелограми, които не са нито квадратчета, нито правоъгълници, нито ромби.

От друга страна, косите паралелепипеди са тези, при които поне една височина не е съгласна с ръба им. В тази класификация можем да включим ромбоедрите и ромбоедрите.

Изчисляване на диагонали

За да изчислим диагонала на ортоедър, можем да използваме теоремата на Питагор за R ³.

Спомнете си, че ортоедър има характеристиката, че всяка страна е перпендикулярна на страните, които споделят ръб. От този факт можем да заключим, че всеки ръб е перпендикулярен на тези, които споделят върха.

За да изчислим дължината на диагонал на ортоедър, действаме, както следва:

1. Изчисляваме диагонала на едно от лицата, който ще поставим като основа. За това използваме Питагоровата теорема. Нека наречем този диагонал d _b.

2. Тогава с d _b можем да образуваме нов десен триъгълник, така че хипотенузата на споменатия триъгълник да е диагонала D, която търсим.

3. Използваме отново питагоровата теорема и имаме, че дължината на този диагонал е:

Друг начин за изчисляване на диагоналите по по-графичен начин е с добавянето на безплатни вектори.

Спомнете си, че два свободни вектора A и B се добавят, като се поставя опашката на вектор B с върха на вектор A.

Векторът (A + B) е този, който започва от опашката на A и завършва на върха на B.

Нека разгледаме паралелепипед, за който искаме да изчислим диагонал.

Идентифицираме ръбовете с удобно ориентирани вектори.

След това добавяме тези вектори и полученият вектор ще бъде диагоналът на паралелепипеда.

■ площ

Площта на паралелепипед се дава от сумата на всяка от зоните на неговите лица.

Ако определим една от страните като основа, A _L + 2A _B = Обща площ

Когато A _L е равен на сумата от площите на всички страни, съседни на основата, наречени странична зона и A _B е площта на основата.

В зависимост от вида на паралелепипеда, с който работим, можем да пренапишем тази формула.

Площ на ортоедър

Дава се чрез формулата

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Като се има предвид следният ортоедър, със страни a = 6 cm, b = 8 cm и c = 10 cm, изчислете площта на паралелепипеда и дължината на неговия диагонал.

Използвайки формулата за площта на ортоедър, имаме това

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Забележете, че тъй като е ортоедър, дължината на който и да е от четирите му диагонала е една и съща.

Използвайки теоремата на Питагор за пространството, ние имаме това

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Площ на куб

Тъй като всеки ръб има една и съща дължина, имаме че a = b и a = c. Подмяна в предишната формула, която имаме

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Пример 2

Кутията на игровата конзола е оформена като кубче. Ако искаме да опаковаме тази кутия с опаковки за подаръци, колко хартия бихме похарчили, знаейки, че дължината на краищата на куба е 45 см?

Използвайки формулата за площта на куба, получаваме това

A = 6 (45 см) ² = 6 (2025 см ²) = 12150 см ²

Площ на ромбоедър

Тъй като всичките им лица са еднакви, просто изчислете площта на един от тях и го умножете по шест.

Имаме предвид, че площта на ромба може да се изчисли чрез неговите диагонали със следната формула

A _R = (Dd) / 2

По тази формула следва, че общата площ на ромбоедъра е

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Пример 3

Лицата на следващия ромбоедър са образувани от ромб, чиито диагонали са D = 7 cm и d = 4 cm. Вашият район ще бъде

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см ².

Площ на ромбоедър

За да изчислим площта на ромбоедър, трябва да изчислим площта на ромбоидите, които го съставят. Тъй като паралелепипедите изпълняват свойството, че противоположните страни имат една и съща площ, можем да свържем страните в три двойки.

По този начин ние имаме, че вашата област ще бъде

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Където b _i са базите, свързани със страните, а h _i тяхната относителна височина, съответстваща на тези бази.

Пример 4

Помислете за следния паралелепипед,

където страна A и страна A '(нейната противоположна страна) имат основа b = 10 и височина h = 6. Маркираната площ ще има стойност на

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B и B 'имат b = 4 и h = 6, така че

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC и C 'имат, следователно, b = 10 и h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Най-накрая е областта на ромбоедъра

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Обем на паралелепипед

Формулата, която ни дава обема на паралелепипед, е произведението на площта на една от неговите лица от височината, съответстваща на това лице.

V = A _C h _C

В зависимост от вида на паралелепипеда тази формула може да бъде опростена.

Така имаме например, че обемът на ортоедър ще бъде даден от

V = абс.

Където a, b и c представляват дължината на краищата на ортоедъра.

И в конкретния случай на куба е

V = a ³

Пример 1

Има три различни модела за кутии за бисквитки и искате да знаете в кой от тези модели можете да съхранявате повече бисквитки, тоест кой от кутиите има най-голям обем.

Първият е куб, чийто ръб има дължина a = 10 cm

Обемът му ще бъде V = 1000 cm ³

Вторият има ръбове b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

И следователно обемът му е V = 765 cm ³

И третата има e = 9 cm, f = 9 cm и g = 13 cm

А обемът му е V = 1053 cm ³

Следователно кутията с най-голям обем е третата.

Друг метод за получаване на обем на паралелепипед е използването на векторна алгебра. По-специално, продуктът с три точки.

Едно от геометричните интерпретации, които тройният скаларен продукт има, е обемът на паралелепипеда, чиито ръбове са три вектора, които споделят една и съща върха като начална точка.

По този начин, ако имаме паралелепипед и искаме да знаем какъв е неговият обем, достатъчно е да го представим в координатна система в R ^{3, като} направим една от неговите върхове да съвпада с произхода.

След това представяме ръбовете, които съвпадат в началото с вектори, както е показано на фигурата.

И по този начин имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е даден от

V = - AxB ∙ C-

Или, еквивалентно, обемът е определящият за матрицата 3 × 3, образуван от компонентите на ръбовите вектори.

Пример 2

Когато представяме следния паралелепипед в R ^3, можем да видим, че векторите, които го определят, са следните

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) и w = (-0,25, -4, 4)

Използвайки тройния скаларен продукт, който имаме

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

От това заключаваме, че V = 60

Нека сега разгледаме следния паралелепипед в R3, чиито ръбове се определят от векторите

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Използването на детерминанти ни дава това

Така имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е 112.

И двете са равностойни начини за изчисляване на обема.

Перфектен паралелепипед

Ортоедърът е известен като тухла на Ойлер (или блок на Ойлер), която отговаря на свойството, че както дължината на ръбовете му, така и дължината на диагоналите на всяка от неговите лица са цели числа.

Въпреки че Ойлер не е първият учен, който изучава ортоедрите, които изпълняват това свойство, той намери интересни резултати за тях.

Най-малката тухла на Ойлер е открита от Пол Халк, а дължините на краищата й са a = 44, b = 117 и c = 240.

Открит проблем в теорията на числата е следният

Има ли перфектни ортоедри?

Понастоящем на този въпрос не е даден отговор, тъй като не беше възможно да се докаже, че такива органи не съществуват, но нито един не е открит.

Това, което е показано досега, е, че съществуват перфектни паралелепипеди. Първият, който е открит, е с дължина на краищата му стойностите 103, 106 и 271.

библиография

1. Гай, Р. (1981). Нерешени проблеми в теорията на числата. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Геометрия. Прогрес.
3. Leithold, L. (1992). Изчислението с аналитична геометрия. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Техническа рисунка: Книга за дейности 3 2-ро Бачилерато. Тебар.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Физика том 1. Мексико: континентален.