ШЕСТОЪГЪЛНА ПИРАМИДА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А шестоъгълна пирамида е многостен образуван от шестоъгълник, който е в основата и шест триъгълници, които започват от върховете на шестоъгълник и се срещат в точка извън равнината, която съдържа база. Тази точка на съвместност е известна като върха или върха на пирамидата.

Полиедър е затворено триизмерно геометрично тяло, чиито лица са плоски фигури. Шестоъгълник е затворена равнинна фигура (многоъгълник), съставена от шест страни. Ако всичките шест страни са с еднаква дължина и образуват равни ъгли, се казва, че са правилни; в противен случай е нередовна.

дефиниция

Шестоъгълна пирамида съдържа седем лица, основата и шестте странични триъгълника, от които основата е единствената, която не докосва върха.

Казват, че пирамидата е права, ако всички странични триъгълници са равнобедрени. В този случай височината на пирамидата е сегментът, който отива от върха до центъра на шестоъгълника.

По принцип височината на пирамида е разстоянието между върха и равнината на основата. Казват, че пирамидата е коса, ако не всички странични триъгълници са равнобедрени.

Ако шестоъгълникът е правилен и пирамидата също е права, се казва, че е правилна шестоъгълна пирамида. По същия начин, ако шестоъгълникът е неправилен или пирамидата е наклонена, се казва, че е неправилна шестоъгълна пирамида.

характеристики

Вдлъбнати или изпъкнали

Многоъгълник е изпъкнал, ако мярката на всички вътрешни ъгли е по-малка от 180 градуса. Геометрично това е еквивалентно на това, че като се има предвид двойка точки в полигона, линейният сегмент, който ги съединява, се съдържа в полигона. В противен случай се казва, че многоъгълникът е вдлъбнат.

Ако шестоъгълникът е изпъкнал, се казва, че пирамидата е изпъкнала шестоъгълна пирамида. В противен случай ще се каже, че е вдлъбната шестоъгълна пирамида.

Ръбовете

Краищата на пирамида са страните на шестте триъгълника, които я съставляват.

Апотема

Апотема на пирамидата е разстоянието между върха и страните на основата на пирамидата. Това определение има смисъл само когато пирамидата е правилна, тъй като ако е неправилна, това разстояние варира в зависимост от разглеждания триъгълник.

От друга страна, в обикновените пирамиди апотема ще съответства на височината на всеки триъгълник (тъй като всеки от тях е равнобедрен) и ще бъде еднакъв във всички триъгълници.

Апотема на основата е разстоянието между една от страните на основата и центъра на нея. От начина, по който е дефиниран, апотемата на базата има смисъл само в обикновените пирамиди.

означения

Височината на шестоъгълна пирамида ще бъде обозначена с h, апотема на основата (в обикновения случай) с APb и апотема на пирамидата (също в обикновения случай) от AP.

Характерно за правилните шестоъгълни пирамиди е, че h, APb и AP образуват десен триъгълник с хипотенуза AP и крака h и APb. По теорията на Питагора имаме, че AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Изображението по-горе представлява обикновена пирамида.

Как да се изчисли площта? Формули

Помислете за правилна шестоъгълна пирамида. Нека A е мярката на всяка страна на шестоъгълника. Тогава A съответства на мярката на основата на всеки триъгълник на пирамидата и следователно на краищата на основата.

Площта на многоъгълник е произведението на периметъра (сумата на страните) и апотема на основата, разделена на две. В случай на шестоъгълник това ще бъде 3 * A * APb.

Вижда се, че площта на правилна шестоъгълна пирамида е равна на шест пъти площта на всеки триъгълник на пирамидата плюс площта на основата. Както беше споменато по-горе, височината на всеки триъгълник съответства на апотема на пирамидата, AP.

Следователно, площта на всеки триъгълник в пирамидата се дава от A * AP / 2. По този начин площта на правилна шестоъгълна пирамида е 3 * A * (APb + AP), където A е ръб на основата, APb е апотема на основата, а AP - апотема на пирамидата.

Изчисляване в неправилни шестоъгълни пирамиди

В случай на неправилна шестоъгълна пирамида няма директна формула за изчисляване на площта, както в предишния случай. Това е така, защото всеки триъгълник в пирамидата ще има различна площ.

В този случай площта на всеки триъгълник трябва да се изчислява отделно и площта на основата. Тогава площта на пирамидата ще бъде сумата от всички изчислени преди това площи.

Как да изчислим обема? Формули

Обемът на пирамида с правилна шестоъгълна форма е произведението на височината на пирамидата и площта на основата, разделена на три. По този начин обемът на правилна шестоъгълна пирамида се дава от A * APb * h, където A е ръб на основата, APb е апотема на основата и h е височината на пирамидата.

Изчисляване в неправилни шестоъгълни пирамиди

Аналогично на зоната, в случай на неправилна шестоъгълна пирамида няма директна формула за изчисляване на обема, тъй като краищата на основата нямат същото измерване, тъй като е неправилен многоъгълник.

В този случай площта на основата трябва да се изчислява отделно и обемът ще бъде (h * Площ на основата) / 3.

пример

Намерете площта и обема на правилна шестоъгълна пирамида с височина 3 cm, основата на която е правилен шестоъгълник от 2 cm от всяка страна, а апотема на основата е 4 cm.

Решение

Първо, трябва да се изчисли апотема на пирамидата (AP), което е единствените липсващи данни. Поглеждайки изображението по-горе, се вижда, че височината на пирамидата (3 см) и апотема на основата (4 см) образуват десен триъгълник; Следователно, за да се изчисли апотема на пирамидата, се използва теорията на Питагор:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

По този начин, използвайки формулата, написана по-горе, следва, че площта е равна на 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

От друга страна, с помощта на обемната формула се получава, че обемът на дадената пирамида е 2 * 4 * 3 = 24 см ^ 3.

Препратки

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Математика: подход за решаване на проблеми за учителите в началното образование. Лопес Матеос Редактори.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Математика 3. Редакционен прогрес.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Математика 6. Редакционен прогрес.
4. Gutiérrez, CT и Cisneros, MP (2005). 3-ти курс по математика. Редакционен прогресо.
5. Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Симетрия, форма и пространство: Въведение в математиката чрез геометрията (илюстрирано, препечатан изд.). Springer Science & Business Media.
6. Мичъл, С. (1999). Ослепителни математически линии (илюстрирано издание). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Рисувам 6-ти. Редакционен прогресо.